Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2618
i

Сколь­ко раз­лич­ных кор­ней имеет урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 Пи x минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x ко­си­нус 7x плюс синус x синус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка =0?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Со­ста­вим рав­но­силь­ную со­во­куп­ность со­от­но­ше­ний

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 25 Пи x минус x в квад­ра­те = 0, \phantom000000000000000000 левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний 25 Пи x минус x в квад­ра­те боль­ше 0, \qquad левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x ко­си­нус 7x плюс синус x синус 5x = 0 \qquad левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Урав­не­ние (1) имеет два корня. Ре­ше­ние не­ра­вен­ства (2):

0 мень­ше x мень­ше 25 Пи . \qquad левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка

Рас­смот­рим урав­не­ние (3).

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 8x плюс ко­си­нус 6x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 4x минус ко­си­нус 6x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но ко­си­нус 8x плюс ко­си­нус 4x = 0 рав­но­силь­но 2 ко­си­нус в квад­ра­те 4x плюс ко­си­нус 4x минус 1 = 0

Пусть  ко­си­нус 4x = t, |t| мень­ше или равно 1, тогда 2t в квад­ра­те плюс t минус 1 = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t = минус 1,t = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти . Оба корня удо­вле­тво­ря­ют усло­вию |t| мень­ше или равно 1. Тогда по­лу­ча­ем:

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 4x = минус 1, ко­си­нус 4x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 4x = Пи плюс 2 Пи n,4x = \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x = \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . k, n при­над­ле­жит Z .

Эти корни раз­лич­ны при любых целых n и k. Вы­чис­лим ко­ли­че­ство раз­лич­ных ре­ше­ний на ин­тер­ва­ле (4).

0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 4 плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 25 Пи рав­но­силь­но 0 мень­ше 1 плюс 2n мень­ше 100 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше n мень­ше целая часть: 49, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно n мень­ше или равно 49,

т. е. 50 ре­ше­ний.

Ана­ло­гич­но для вто­рой серии кор­ней:

 0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 12 плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 25 Пи рав­но­силь­но 0 мень­ше 1 плюс 6k мень­ше 300 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше k мень­ше целая часть: 49, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно k мень­ше или равно 49.

и

0 мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 12 плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 25 Пи рав­но­силь­но 0 мень­ше минус 1 плюс 6k мень­ше 300 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше k мень­ше целая часть: 50, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 рав­но­силь­но 1 мень­ше или равно k мень­ше или равно 50,

т. е. еще 100 ре­ше­ний. Таким об­ра­зом, общее ко­ли­че­ство раз­лич­ных ре­ше­ний ис­ход­но­го урав­не­ния 2 + 50 + 100  =  152.

 

Ответ: 152.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2612

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния , Урав­не­ния и не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
?
Сложность: 9 из 10