№ 2617 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 1. Вычисления, преобразования, сравнение чисел
i
Не пользуясь микрокалькулятором и таблицами, сравните числа 
и 
Решение. I способ. Не меняя знака сравнения, перенесем каждую часть в противоположную сторону и добавим 1 к обеим частям: 
Поскольку 
и 
то 
(смотри также II способ решения задания 4 варианта I).
II способ. Введем функцию 
при 
она дифференцируема при всех таких x.
Поскольку при 
выполняется 
и 
(все части правосторонних неравенств положительны), то правосторонние неравенства можно почленно перемножить, и мы получаем
Следовательно, функция f(x) монотонно убывает на [2; +∞), откуда следует, что 
т. е. 
Замечание. Отметим, что нам этот способ не очень нравится. Фактически здесь очень сильное средство математического анализа применяется по отношению к достаточно простой задаче (как говорит пословица, «из пушки по воробьям...»).
III способ. Этот способ приводится в известном методическом пособии М. Л. Галицкого, М. М. Мошковича, С. И. Шварбурда «Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа». Здесь используется теорема о соотношении между средним арифметическим и среднем геометрическим две чисел:
т. е.
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 2611
