№ 2611 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 1. Вычисления, преобразования, сравнение чисел
i
Не пользуясь микрокалькулятором и таблицами, сравните числа 
и 
Решение. Рассмотрим несколько способов решения задачи.
I способ. Умножим обе части сравнения на положительное число 3:
Но 
а 
Следовательно, 
Замечание. Нетрудно видеть, что для небольших чисел этот способ является достаточно универсальным, необходимо только подобрать подходящий множитель (в данном примере — число 3). Приводимые далее другие способы тоже, в основном, являются достаточно универсальными.
II способ. Вычтем из обеих частей сравнения число 1:
Поскольку 
то 
Отсюда следует ответ задачи. (Здесь мы воспользовались не только монотонностью логарифмической функции, но и следующим свойством логарифмов: если 
и 
то 
смотри также рисунок).
III способ. Чтобы сравнить числа 
и 
будем возводить во всё большие степени числа, стоящие под знаком логарифма. Это позволит последовательно уточнять оценки. Вначале возведем в квадрат:
После первого шага еще нельзя сделать никакого вывода, продолжаем:
Отсюда уже следует ответ.
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 2617
