Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2581

Решите уравнение  дробь: числитель: синус 3x, знаменатель: \ctg x конец дроби = косинус 3x минус 2 косинус x.

Спрятать решение

Решение.

Домножив обе части уравнения на  косинус x, после очевидных преобразований левой части придем к уравнению

 синус 3x синус x= косинус 3x косинус x плюс 2 косинус в квадрате x равносильно 2 косинус в квадрате 2x минус 1 плюс левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка =0 равносильно

 равносильно косинус 2x левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус 2x=0, косинус 2x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи m, конец совокупности . k,m принадлежит Z .

При каждом из найденных x функция \ctg x определена и не равна нулю, то есть, проводя преобразования, мы не приобрели посторонних решений, и все найденные x являются решениями исходного уравнения.

 

Ответ:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи m:k,m принадлежит Z правая фигурная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2575

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 4, вариант 2
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 8 из 10