Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2577

Найдите все значения параметра a, при которых система  система выражений логарифм по основанию 2 (4y плюс 4a минус 3)=1 плюс логарифм по основанию 2 (a минус x),y= корень из (x) конец системы . имеет решение.

Спрятать решение

Решение.

Заменим исходную систему другой, ей равносильной, для чего преобразуем уравнение системы, воспользовавшись формулой суммы логарифмов, а также используем условие равенства логарифмов с одинаковыми основаниями и область определения логарифмической функции:

 система выражений 4y плюс 4a минус 3=2(a минус x),a минус x больше 0, y= корень из (x) . конец системы .

Так как последнее уравнение системы равносильно системе двух условий: y в квадрате =x и y больше или равно 0, то, заменив его этими соотношениями, а также подставив выражения для x в первое уравнение системы, получим систему:

 система выражений 2y в квадрате плюс 4y плюс 2=5 минус 2a,x=y в квадрате , y в квадрате меньше a, y больше или равно 0. конец системы .

Первое уравнение также можно переписать так (y плюс 1) в квадрате =2,5 минус a. Оно имеет решения только при a меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби . При этом

y_1= минус 1 минус 1 корень из ( дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби минус a) , y_2= минус 1 плюс корень из ( дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби минус a) .

Значение y_1 всегда отрицательно, а y_2 неотрицательно, если

 минус 1 плюс корень из ( дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби минус a) больше или равно 0 равносильно корень из ( дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби a) больше или равно 1 равносильно a меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Выясним теперь, при каких a, не больших  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , выполняется условие y_2 в степени (2) меньше a, притом что y_2 в степени (2) = дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби минус a минус 2 корень из ( дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби минус a) . Решаем неравенство:

 дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби минус a минус 2 корень из ( дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби минус a) больше a равносильно дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби минус 2a больше 2 корень из ( дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби минус a) .

Так как a  меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , то после возведения последнего неравенства в квадрат получим

 дробь: числитель: 49, знаменатель: 4 конец дроби минус 14a плюс 4a в квадрате меньше 4 левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби минус a правая круглая скобка равносильно 4a в квадрате минус 10a плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби .

С учетом того, что a меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , получим окончательно  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше a меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . При этих a найдется пара (x;y), удовлетворяющая последней системе, а следовательно, и исходной.

 

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2583

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 4, вариант 1
? Классификатор: Системы с параметром
?
Сложность: 10 из 10