№ 2577 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 31. Задачи с параметром (без производной)
i
Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет решение.
Решение. Заменим исходную систему другой, ей равносильной, для чего преобразуем уравнение системы, воспользовавшись формулой суммы логарифмов, а также используем условие равенства логарифмов с одинаковыми основаниями и область определения логарифмической функции:
Так как последнее уравнение системы равносильно системе двух условий: 
и 
то, заменив его этими соотношениями, а также подставив выражения для x в первое уравнение системы, получим систему:
Первое уравнение также можно переписать так 
Оно имеет решения только при 
При этом
Значение 
всегда отрицательно, а 
неотрицательно, если
Выясним теперь, при каких a, не больших 
выполняется условие 
притом что 
Решаем неравенство:
Так как a 
то после возведения последнего неравенства в квадрат получим
С учетом того, что 
получим окончательно 
При этих a найдется пара 
удовлетворяющая последней системе, а следовательно, и исходной.
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 2583
