Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2568
i

Ре­ши­те урав­не­ние  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 25 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на 0,25 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1,5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 27 плюс x в кубе ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пред­ста­вив  дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби как  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , пе­рей­дем к си­сте­ме, рав­но­силь­ной ис­ход­но­му урав­не­нию:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 25 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1,5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 27=0,2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 25 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1,5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 27 плюс x в кубе ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та боль­ше 0, x боль­ше 0, x не равно 1. конец си­сте­мы .

Не­труд­но за­ме­тить, что вто­рое усло­вие яв­ля­ет­ся след­стви­ем пер­во­го и тре­тье­го, а из тре­тье­го сле­ду­ет, что x в кубе ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та боль­ше 0; сло­жив это не­ра­вен­ство с пер­вым урав­не­ни­ем, по­лу­чим вто­рое не­ра­вен­ство. Най­дем корни пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы, для чего умно­жим обе части урав­не­ния на 4 в сте­пе­ни x . Далее, делая за­ме­ну t=2 в сте­пе­ни x , по­лу­чим урав­не­ние

4t в кубе минус 27t в квад­ра­те плюс 50t минус 24=0.

Если урав­не­ние имеет целые корни, то они яв­ля­ют­ся де­ли­те­ля­ми числа 24. На­чи­на­ем про­ве­рять в числа 2, три из че­ты­рех ко­эф­фи­ци­ен­тов мно­го­чле­на левой части урав­не­ния  — чет­ные. Оно яв­ля­ет­ся кор­нем. Деля мно­го­член 4t в кубе минус 27t в квад­ра­те плюс 50t минус 24 на t минус 2, по­лу­чим трех­член 4t в квад­ра­те минус 19t плюс 12, корни ко­то­ро­го 4 и  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Опре­де­ля­ем зна­че­ния x, со­от­вет­ству­ю­щие най­ден­ным t: если t=2 то x=1, если t=4 то x=2, если t= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби то x= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 минус 2. Среди най­ден­ных x толь­ко x=2 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям си­сте­мы.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка 2 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2562

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Урав­не­ния и не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
?
Сложность: 7 из 10