Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2569
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 минус y конец ар­гу­мен­та =0, y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус x конец ар­гу­мен­та плюс 4 и y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Изоб­ра­зим за­дан­ную фи­гу­ру, для чего по­стро­им гра­фи­ки функ­ций y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус x конец ар­гу­мен­та плюс 4 и y= дробь: чис­ли­тель: x плюс 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Что ка­са­ет­ся тре­тьей линии, за­да­ва­е­мой урав­не­ни­ем x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 минус y конец ар­гу­мен­та =0, то ее проще все изоб­ра­зить, пе­ре­пи­сав урав­не­ние в виде y= минус x в квад­ра­те плюс 6 при x мень­ше или равно 0. Опре­де­лим абс­цис­сы точек A, B и C.

Для точки A имеем:

 дробь: чис­ли­тель: x плюс 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус x в квад­ра­те плюс 6 рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те плюс x минус 10=0.

По смыс­лу под­хо­дит от­ри­ца­тель­ный ко­рень урав­не­ния, рав­ный −2. Для точки C имеем:

 дробь: чис­ли­тель: x плюс 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус x конец ар­гу­мен­та плюс 4.

Решим его при по­мо­щи за­ме­ны t= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус x конец ар­гу­мен­та . По­лу­чим 12 минус t в квад­ра­те =3t плюс 12, от­ку­да t=0 (t= минус 3  — по­сто­рон­ний ко­рень), тогда x=4. Для опре­де­ле­ния абс­цис­сы точки B не­об­хо­ди­мо ре­шить урав­не­ние

6 минус x в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус x конец ар­гу­мен­та плюс 4 рав­но­силь­но 2 минус x в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус x конец ар­гу­мен­та .

Один из кор­ней этого урав­не­ния 0. Оче­вид­но имен­но он под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи. Ис­ко­мую пло­щадь вы­чис­лим как сумму пло­ща­дей фигур ABD и CBD. Так как на от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка 0;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка :

4 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус x конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: x плюс 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

а на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка : 6 минус x в квад­ра­те боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: x плюс 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , то пло­щадь за­пи­шет­ся как

 ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до 4, левая круг­лая скоб­ка 4 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 4 конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: x плюс 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс ин­те­грал пре­де­лы: от минус 2 до 0, левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 6 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: x плюс 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка dx =

= левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 0 до 4, плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от минус 2 до 0, = целая часть: 12, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 .

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка целая часть: 12, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2563

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 8 из 10