Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2547

Найдите p, при котором площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x минус x в степени 4 , касательной к нему, проведенной в точке графика с абсциссой p, и прямой x = p плюс 2, наименьшая.

Спрятать решение

Решение.

Запишем уравнение касательной к графику y = x минус x в степени 4 в его точке с абсциссой p:

y = y(p) плюс y'(p)(x минус p) равносильно y = p минус p в степени 4 плюс (1 минус 4p в кубе )(x минус p).

Составим разность уравнения y = x минус x в степени 4 и уравнения касательной:

x минус x в степени 4 минус p плюс p в степени 4 минус (1 минус 4p в кубе )(x минус p) = 0 равносильно минус x в степени 4 плюс 4p в кубе x минус 3p в степени 4 = 0.

Поскольку прямая является касательной к графику в его точке с абсциссой p, то последнее уравнение имеет корень x = p кратности не меньше, чем 2. Поделим многочлен  минус x в степени 4 плюс 4p в кубе x минус 3p в степени 4 на (x минус p) в квадрате = x в квадрате минус 2px плюс p в квадрате , получим  минус x в квадрате минус 2px минус 3p в квадрате .

Разность уравнения функции и уравнения касательной равна  минус (x минус p) в квадрате (x в квадрате плюс 2px плюс 3p в квадрате ) и неположительна при всех действительных x, поэтому график функции лежит не выше графика касательной и площадь описанной фигуры задается формулой

 S(p) = принадлежит t \limits_p в степени (p плюс 2) (x минус p) в квадрате (x в квадрате плюс 2px плюс 3p в квадрате ) dx .

Преобразовав x в квадрате плюс 2px плюс 3p в квадрате как

x в квадрате минус 2px плюс p в квадрате плюс 4px минус 4p в квадрате плюс 6p в квадрате = (x минус p) в квадрате плюс 4p(x минус p) плюс 6p в квадрате ,

перепишем

 S(p) = принадлежит t \limits_p в степени (p плюс 2) левая круглая скобка (x минус p) в степени 4 плюс 4p(x минус p) в кубе плюс 6p в квадрате (x минус p) в квадрате правая круглая скобка dx =

= принадлежит t \limits_0 в квадрате левая круглая скобка t в степени 4 плюс 4pt в кубе плюс 6p в квадрате t в квадрате правая круглая скобка dt = \left. \vphantom дробь: числитель: 0, знаменатель: 0 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: t в степени 5 , знаменатель: 5 конец дроби плюс pt в степени 4 плюс 2p в квадрате t в кубе правая круглая скобка | \limits_0 в квадрате = 16 левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби плюс p плюс p в квадрате правая круглая скобка .

Таким образом, p = −0,5 — точка минимума квадратичной функции S(p).

 

Ответ: при p = −0,5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2541

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Касательная к графику функции, Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 10 из 10