РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2547

Найдите p, при котором площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x минус x в степени 4 ,$ касательной к нему, проведенной в точке графика с абсциссой p, и прямой $x = p плюс 2,$ наименьшая.

Спрятать решение

Решение.

Запишем уравнение касательной к графику $y = x минус x в степени 4$ в его точке с абсциссой p:

$y = y левая круглая скобка p правая круглая скобка плюс y' левая круглая скобка p правая круглая скобка левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка равносильно y = p минус p в степени 4 плюс левая круглая скобка 1 минус 4p в кубе правая круглая скобка левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка .$

Составим разность уравнения $y = x минус x в степени 4$ и уравнения касательной:

$x минус x в степени 4 минус p плюс p в степени 4 минус левая круглая скобка 1 минус 4p в кубе правая круглая скобка левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка = 0 равносильно минус x в степени 4 плюс 4p в кубе x минус 3p в степени 4 = 0.$

Поскольку прямая является касательной к графику в его точке с абсциссой p, то последнее уравнение имеет корень x  =  p кратности не меньше, чем 2. Поделим многочлен $минус x в степени 4 плюс 4p в кубе x минус 3p в степени 4$ на $левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка в квадрате = x в квадрате минус 2px плюс p в квадрате ,$ получим $минус x в квадрате минус 2px минус 3p в квадрате .$

Разность уравнения функции и уравнения касательной равна $минус левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x в квадрате плюс 2px плюс 3p в квадрате правая круглая скобка$ и неположительна при всех действительных x, поэтому график функции лежит не выше графика касательной и площадь описанной фигуры задается формулой

$S левая круглая скобка p правая круглая скобка = интеграл пределы: от p до p плюс 2, левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x в квадрате плюс 2px плюс 3p в квадрате правая круглая скобка dx .$

Преобразовав $x в квадрате плюс 2px плюс 3p в квадрате$ как

$x в квадрате минус 2px плюс p в квадрате плюс 4px минус 4p в квадрате плюс 6p в квадрате = левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка в квадрате плюс 4p левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка плюс 6p в квадрате ,$

перепишем

$S левая круглая скобка p правая круглая скобка = интеграл пределы: от p до p плюс 2, левая круглая скобка левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка в степени 4 плюс 4p левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка в кубе плюс 6p в квадрате левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка dx =$

$= интеграл \limits_0 в квадрате левая круглая скобка t в степени 4 плюс 4pt в кубе плюс 6p в квадрате t в квадрате правая круглая скобка dt = левая круглая скобка дробь: числитель: t в степени 5 , знаменатель: 5 конец дроби плюс pt в степени 4 плюс 2p в квадрате t в кубе правая круглая скобка | пределы: от 0 до 2, = 16 левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби плюс p плюс p в квадрате правая круглая скобка .$ $= интеграл \limits_0 в квадрате левая круглая скобка t в степени 4 плюс 4pt в кубе плюс 6p в квадрате t в квадрате правая круглая скобка dt =$
$= левая круглая скобка дробь: числитель: t в степени 5 , знаменатель: 5 конец дроби плюс pt в степени 4 плюс 2p в квадрате t в кубе правая круглая скобка | пределы: от 0 до 2, = 16 левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби плюс p плюс p в квадрате правая круглая скобка .$

Таким образом, p  =  −0,5  — точка минимума квадратичной функции S(p).

Ответ: при p  =  −0,5.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2541

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 1, вариант 2

? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Касательная к графику функции, Функции, зависящие от параметра

Сложность: 10 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь