№ 2541 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 32. Площадь и интеграл с параметром
i
При каком t площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
касательной к нему, проведенной в точке графика с абсциссой t, и прямой x = t − 1, наименьшая?
Решение. Прежде всего установим тот факт, что любая касательная к графику функции 
лежит не выше графика самой функции. Здесь допустимы два способа обоснования. Приведем оба.
Первый. Поскольку вторая производная функции 
положительная для всех действительных x, функция является выпуклой вниз, и ее график лежит не ниже графика любой касательной к нему.
Второй. Запишем уравнение касательной к графику функции 
в точке графика с абсциссой t: 
т. е.
Составим разность
и убедимся, что она неотрицательна при любых x. Перепишем ее в виде
и преобразуем:
Последнее выражение неотрицательно, поскольку
Для вычисления площади фигуры воспользуемся уже преобразованным представлением разности функции и уравнения касательной к ней
Представим квадратный трехчлен относительно x: 
как квадратный трехчлен относительно (x − t):
Тогда
Очевидно, что минимум площади достигается одновременно с минимумом квадратного трехчлена 
т. е. при 
Ответ: при t = 0,25.
Приведем еще один способ решения задачи, начиная с его второго этапа.
Необходимо выразить площадь фигуры S(t) при помощи интеграла и затем найти t, при которых 
Здесь тактической ошибкой было бы приводить полученное выражение к многочлену стандартного вида:
Заметим, 
при 
и меняет в этой точке знак с минуса на плюс, т. е. 0,25 — точка минимума.
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: при t = 0,25.
Задание парного варианта: 2547
