РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2545

Исследуйте функцию $y = минус левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка плюс 3 умножить на левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени x минус x натуральный логарифм 5$ на монотонность.

Спрятать решение

Решение.

Данная функция определена и дифференцируема при всех действительных x. Для определения промежутков монотонности функции найдем ее критические точки. Они определяются из условия $y' = 0.$

Вычислим производную функции:

$y' = минус левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка умножить на натуральный логарифм левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка умножить на 4 плюс 3 умножить на левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени x умножить на \ln левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка минус натуральный логарифм 5 = \ln левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 4 умножить на левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка плюс 3 умножить на левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени x плюс 1 правая круглая скобка =$ $y' = минус левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка умножить на натуральный логарифм левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка умножить на 4 плюс 3 умножить на левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени x умножить на \ln левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка минус натуральный логарифм 5 =$
$= \ln левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 4 умножить на левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка плюс 3 умножить на левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени x плюс 1 правая круглая скобка =$

$= натуральный логарифм 5 умножить на левая круглая скобка 4 умножить на левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка минус 3 умножить на левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени x минус 1 правая круглая скобка .$

Таким образом, $y' = 0 равносильно 4 умножить на левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка минус 3 умножить на левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени x минус 1 = 0.$

Сделаем замену $левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени x = t,$ где $t больше 0.$ Получим

$4t в степени 4 минус 3t минус 1 = 0 равносильно 4t в степени 4 минус 4t плюс t минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4t левая круглая скобка t в кубе минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка 4t в кубе плюс 4t в квадрате плюс 4t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка = 0.$ $4t в степени 4 минус 3t минус 1 = 0 равносильно 4t в степени 4 минус 4t плюс t минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4t левая круглая скобка t в кубе минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 4t в кубе плюс 4t в квадрате плюс 4t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка = 0.$

Это уравнение имеет единственный положительный корень t  =  1. Возвращаясь к исходной переменной, получим $0,2 в степени x = 1 равносильно x = 0.$ Точка 0  — единственная критическая точка. Возьмем значения производной справа и слева от нуля: $y' левая круглая скобка 1 правая круглая скобка меньше 0,$ а $y' левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше 0.$ В нуле производная меняет знак с плюса на минус, ноль  — точка максимума. Таким образом, при $x меньше или равно 0$ функция возрастает, при $x больше или равно 0$   — убывает.

Ответ: при $x меньше или равно 0$ функция возрастает, при $x больше или равно 0$   — убывает.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2539

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 1, вариант 2

? Классификатор: Исследование функций

Сложность: 8 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь