Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2545

Исследуйте функцию y = минус (0,2) в степени (4x) плюс 3 умножить на (0,2) в степени x минус x \ln 5 на монотонность.

Спрятать решение

Решение.

Данная функция определена и дифференцируема при всех действительных x. Для определения промежутков монотонности функции найдем ее критические точки. Они определяются из условия y' = 0.

Вычислим производную функции:

y' = минус (0,2) в степени (4x) умножить на \ln (0,2) умножить на 4 плюс 3 умножить на (0,2) в степени x умножить на \ln(0,2) минус \ln 5 = \ln(0,2) умножить на ( минус 4 умножить на (0,2) в степени (4x) плюс 3 умножить на (0,2) в степени x плюс 1) =

 = \ln 5 умножить на (4 умножить на (0,2) в степени (4x) минус 3 умножить на (0,2) в степени x минус 1).

Таким образом, y' = 0 равносильно 4 умножить на (0,2) в степени (4x) минус 3 умножить на (0,2) в степени x минус 1 = 0.

Сделаем замену (0,2) в степени x = t, где t больше 0. Получим

4t в степени 4 минус 3t минус 1 = 0 равносильно 4t в степени 4 минус 4t плюс t минус 1 = 0 равносильно 4t(t в кубе минус 1) плюс (t минус 1) = 0 равносильно (4t в кубе плюс 4t в квадрате плюс 4t плюс 1)(t минус 1) = 0.

Это уравнение имеет единственный положительный корень t = 1. Возвращаясь к исходной переменной, получим 0,2 в степени x = 1 равносильно x = 0. Точка 0 — единственная критическая точка. Возьмем значения производной справа и слева от нуля: y'(1) меньше 0, а y'( минус 1) больше 0.В нуле производная меняет знак с плюса на минус, ноль — точка максимума. Таким образом, при x меньше или равно 0 функция возрастает, при x больше или равно 0 — убывает.

 

Ответ: при x меньше или равно 0 функция возрастает, при x больше или равно 0 — убывает.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2539

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Исследование функций
?
Сложность: 8 из 10