PDF-версии: 
Исследуйте функцию 
на монотонность.
Решение. Данная функция определена и дифференцируема при всех действительных x. Для определения промежутков монотонности функции найдем ее критические точки. Они определяются из условия 
Вычислим производную функции:
Таким образом, 
Сделаем замену 
где 
Получим
Это уравнение имеет единственный положительный корень t = 1. Возвращаясь к исходной переменной, получим 
Точка 0 — единственная критическая точка. Возьмем значения производной справа и слева от нуля: 
а 
В нуле производная меняет знак с плюса на минус, ноль — точка максимума. Таким образом, при 
функция возрастает, при 
— убывает.
Ответ: при функция возрастает, при — убывает.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
функция возрастает, при — убывает. функция возрастает, при — убывает.