РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2535

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $4 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 3x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка$ и неравенство $2 в степени левая круглая скобка ax плюс 1 правая круглая скобка минус 4 в степени левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка плюс 7 умножить на 2 в степени x меньше или равно 0$ имеют только одно общее решение.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим уравнение $4 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 3x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка .$ Так как

$4 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка =4 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка ;$

$5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 3x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 3x плюс 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 3x плюс 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ,$

то заменим уравнение равносильной ему системой

$система выражений левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =2x в квадрате плюс 3x плюс 2,x плюс 2 больше 0, 2x в квадрате плюс 3x плюс 2 больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x=2,x= минус 1. конец совокупности .$

Общими решениями уравнения и неравенства могут быть только 2 и −1.

При $x=2$ имеем:

$2 в степени левая круглая скобка 2a плюс 1 правая круглая скобка минус 4 в степени левая круглая скобка 2 плюс a правая круглая скобка плюс 28 меньше или равно 0 равносильно минус 14 умножить на 4 в степени a меньше или равно минус 28 равносильно 4 в степени a больше или равно 2 равносильно a больше или равно 0,5.$

В этом случае число 2 является решение неравенства.

При $x= минус 1$ имеем:

$2 в степени левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка минус 4 в степени левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 0.$

Пусть $t=2 в степени a$ $левая круглая скобка t больше 0 правая круглая скобка ,$ тогда

$система выражений 8 минус t в квадрате плюс 14t меньше или равно 0,t больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс 4t плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0,t больше 0 конец системы . равносильно t больше или равно 4,$

то есть $a больше или равно 2.$ В этом случае число −1 является решением неравенства. Ровно одно из двух чисел 2 и −1 удовлетворяет неравенству при $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно a меньше 2.$

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 2 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2529

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1992 год, работа 5, вариант 2

? Классификатор: Неравенства с параметром, Уравнения с параметром

Сложность: 10 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь