РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2516

Докажите, что площади фигур, каждая из которых ограничена графиком функции $y=x в кубе минус 6x в квадрате плюс 1$ и одной из касательных к этому графику, параллельных оси абсцисс, равны.

Спрятать решение

Решение.

Найдем точки графика, касательная в которых параллельна оси Ox, из условия $y' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =0,$ тогда $y'=3x в квадрате минус 12x,$ где $y'=0$ при $x=0$ и $x=4.$ Касательная в точке графика с абсциссой 0 $левая круглая скобка y=1 правая круглая скобка$ имеет с графиком две общие точки. Их абсциссы 0 и 6. Касательная в точке графика с абсциссой 4 $левая круглая скобка y= минус 31 правая круглая скобка$ имеет с графиком две общие точки. Их aбсциссы 4 и −2. Площадь первой фигуры:

$S_1= интеграл пределы: от 0 до 6, \left |x в кубе минус 6x в квадрате плюс 1 минус 1 | dx = интеграл пределы: от 0 до 6, левая круглая скобка 6x в квадрате минус x в кубе правая круглая скобка dx = левая круглая скобка 2x в кубе минус дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка | пределы: от 0 до 6, = 108.$

Площадь второй фигуры:

$S_2= интеграл пределы: от минус 2 до 4, \left |x в кубе минус 6x в квадрате плюс 1 плюс 31 | dx = интеграл пределы: от минус 2 до 4, левая круглая скобка x в кубе минус 6x в квадрате плюс 32 правая круглая скобка dx =$
$= левая круглая скобка дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби минус 2x в кубе плюс 32x правая круглая скобка | пределы: от минус 2 до 4, = 64 минус левая круглая скобка минус 44 правая круглая скобка =108.$ $S_2= интеграл пределы: от минус 2 до 4, \left |x в кубе минус 6x в квадрате плюс 1 плюс 31 | dx =$
$= интеграл пределы: от минус 2 до 4, левая круглая скобка x в кубе минус 6x в квадрате плюс 32 правая круглая скобка dx = левая круглая скобка дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби минус 2x в кубе плюс 32x правая круглая скобка | пределы: от минус 2 до 4, =$
$= 64 минус левая круглая скобка минус 44 правая круглая скобка =108.$

Увидим, что $S_1=S_2$   — что и требовалось доказать.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2522

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1992 год, работа 4, вариант 1

? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей

Сложность: 9 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь