Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2498
i

Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , где f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, D левая круг­лая скоб­ка f пра­вая круг­лая скоб­ка = R \backslash левая фи­гур­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка будет со­сто­ять из всех x, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­ви­ям: x не равно 0, x не равно 1,  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби не равно 0,  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби не равно 1. По­лу­ча­ем, D левая круг­лая скоб­ка g пра­вая круг­лая скоб­ка = R \backslash левая фи­гур­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Пре­об­ра­зу­ем g(x):

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \dfrac1x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \dfrac 1x минус 1 конец дроби = x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 1 минус x конец дроби = x минус 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби .

По­стро­им гра­фик функ­ции h левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = си­сте­ма вы­ра­же­ний g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка при x не равно 1, 1 при x = 1. конец си­сте­мы .

Функ­ция h(x) диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на ℝ\{0} и h' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби . Кри­ти­че­ские точки функ­ции h(x): h' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = 1,x = минус 1. конец со­во­куп­но­сти . В них функ­ция при­ни­ма­ет зна­че­ния: h левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = 1 и h левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 3. Об­ласть при­ни­ма­е­мых зна­че­ний  — E левая круг­лая скоб­ка h пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Так как g(x) при x  =  1 не опре­де­ле­на, то точка y  =  1 не при­над­ле­жит мно­же­ству зна­че­ний функ­ции g(x).

 

Ответ: E левая круг­лая скоб­ка h пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2491

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций
?
Сложность: 9 из 10