Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2497
i

Поль­зу­ясь гео­мет­ри­че­ской ин­тер­пре­та­ци­ей опре­де­лен­но­го ин­те­гра­ла, вы­чис­ли­те  ин­те­грал \limits_3 в сте­пе­ни 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4x минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та dx.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим: y = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4x минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , за­ме­тим, что 4x минус x в квад­ра­те = 4 минус левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

Урав­не­ние y в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 4 за­да­ет окруж­ность с цен­тром в точке (2; 0) ра­ди­у­сом 2.

Мно­же­ство y = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4x минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та   — по­лу­окруж­ность, ле­жа­щая в верх­ней по­лу­плос­ко­сти (см. рис).

Ис­ко­мый ин­те­грал равен пло­ща­ди за­штри­хо­ван­ной кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции.

S_ABC = S_сект. AMB минус S_\Delta MAC.

Из тре­уголь­ни­ка MAC  ко­си­нус \angle AMC = 0,5 \Rightarrow \angle AMC = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

S_сект. AMB = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби S_круга = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи .

S_\Delta MAC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби MC умно­жить на MA умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на S_ABC = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2490

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 8 из 10