РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2493

При каких значениях p из точки B(p; −1) можно провести три различные касательные к графику функции $y = x в кубе минус 3x в квадрате плюс 3?$

Спрятать решение

Решение.

Составим уравнение касательной к графику функции $y = x в кубе минус 3x в квадрате плюс 3$ в точке с абсциссой x₀: $y = левая круглая скобка 3x_0 в квадрате минус 6x_0 правая круглая скобка x минус 2x_0 в кубе плюс 3x_0 в кубе плюс 3.$

Так как касательная должна проходить через точку B(p; −1), то

$левая круглая скобка 3x_0 в квадрате минус 6x_0 правая круглая скобка x минус 2x_0 в кубе плюс 3x_0 в кубе плюс 3 = минус 1$

или

$3x_0p левая круглая скобка x_0 минус 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x_0 минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x_0 в квадрате плюс x_0 плюс 2 правая круглая скобка = 0.$

Отсюда $x_0 = 2$ (это видно и из рисунка) или $2x_0 в квадрате плюс x_0 минус 3x_0p плюс 2 = 0.$

Рассматривая последнее уравнение как квадратное относительно x₀, находим p, при которых оно имеет два различных корня, ни один из которых не равен 2. (Корень равен 2, если $2 умножить на 2 в квадрате плюс 2 минус 3 умножить на 2 умножить на p плюс 2 = 0,$ т. е. при p  =  2.)

Найдем дискриминант: $D = левая круглая скобка 1 минус 3p правая круглая скобка в квадрате минус 16 = 3 левая круглая скобка 3p в квадрате минус 2p минус 5 правая круглая скобка ,$ откуда $D больше 0$ при $p меньше минус 1$ и $p больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$

Исключая из найденных значений число 2, получаем ответ.

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1992 год, работа 2, вариант 1

? Классификатор: Касательная к графику функции

Сложность: 10 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь