Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2473
i

Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y  =  |4 − x2| и y  =  2|x| + 4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Из ри­сун­ка видно, что об­ласть сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но вер­ти­каль­ной оси, это не­уди­ви­тель­но, по­сколь­ку обе функ­ции четны. Най­дем пло­щадь об­ла­сти в пер­вой чет­вер­ти и удво­им ее. Для этого най­дем сна­ча­ла точку пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков:

x в квад­ра­те минус 4=2x плюс 4 рав­но­силь­но  x в квад­ра­те минус 2x минус 8=0 рав­но­силь­но  левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но  x=4.

Разо­бьем об­ласть на две вер­ти­каль­ной пря­мой x=2. Тогда

S=2 левая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит t\limits_0 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 4 минус левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс при­над­ле­жит t\limits_2 в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 4 минус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx пра­вая круг­лая скоб­ка =

=2 левая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит t\limits_0 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2x плюс x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс при­над­ле­жит t\limits_2 в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 8 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка dx пра­вая круг­лая скоб­ка =2 левая круг­лая скоб­ка \dvpodx в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в кубе 02 плюс \dvpodx в квад­ра­те плюс 8x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в кубе 24 пра­вая круг­лая скоб­ка =

=2 левая круг­лая скоб­ка 4 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 8 минус 0 минус 0 плюс 16 плюс 32 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 64 минус 4 минус 16 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =

=2 левая круг­лая скоб­ка 32 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 8 плюс 8 минус 64 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =2 левая круг­лая скоб­ка 32 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 48 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 левая круг­лая скоб­ка 32 минус 16 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 умно­жить на 16=32.

 

Ответ: 32.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2467

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1991 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 8 из 10