РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2468

Составьте уравнения всех общих касательных к графикам функций $y=x в квадрате плюс x плюс 1$ и $y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Прямая касается параболы в том и только том случае, когда имеет с ней одну общую точку и не вертикальна. Путь уравнение этой прямой $y=kx плюс b,$ тогда уравнения $x в квадрате плюс x плюс 1=kx плюс b$ и $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 правая круглая скобка =kx плюс b$ имеют по одному корню. Значит, дискриминанты уравнений $x в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус k правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка =0$ и $x в квадрате минус 2kx плюс левая круглая скобка 3 минус 2b правая круглая скобка =0$ равны нулю. Составим систему уравнений.

$левая фигурная скобка \beginaligned левая круглая скобка 1 минус k правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка =0, 4k в квадрате минус 4 левая круглая скобка 3 минус 2b правая круглая скобка =0, \endaligned. равносильно левая фигурная скобка \beginaligned 1 минус 2k плюс k в квадрате минус 4 плюс 4b=0, k в квадрате минус левая круглая скобка 3 минус 2b правая круглая скобка =0, \endaligned. равносильно левая фигурная скобка \beginaligned k в квадрате минус 2k минус 3 плюс 4b=0, k в квадрате плюс 2b минус 3=0. \endaligned.$ $левая фигурная скобка \beginaligned левая круглая скобка 1 минус k правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка =0, 4k в квадрате минус 4 левая круглая скобка 3 минус 2b правая круглая скобка =0, \endaligned. равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginaligned 1 минус 2k плюс k в квадрате минус 4 плюс 4b=0, k в квадрате минус левая круглая скобка 3 минус 2b правая круглая скобка =0, \endaligned. равносильно левая фигурная скобка \beginaligned k в квадрате минус 2k минус 3 плюс 4b=0, k в квадрате плюс 2b минус 3=0. \endaligned.$ $левая фигурная скобка \beginaligned левая круглая скобка 1 минус k правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка =0, 4k в квадрате минус 4 левая круглая скобка 3 минус 2b правая круглая скобка =0, \endaligned. равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginaligned 1 минус 2k плюс k в квадрате минус 4 плюс 4b=0, k в квадрате минус левая круглая скобка 3 минус 2b правая круглая скобка =0, \endaligned. равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginaligned k в квадрате минус 2k минус 3 плюс 4b=0, k в квадрате плюс 2b минус 3=0. \endaligned.$

Вычтем из первого уравнения второе, умноженное не 2. Получим

$минус k в квадрате минус 2k плюс 3=0 равносильно k в квадрате плюс 2k минус 3=0 равносильно левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс 3 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений k=1,k= минус 3. конец совокупности .$

В первом случае из второго уравнения получаем $1 плюс 2b минус 3=0,$ откуда $b=1,$ во втором случае $9 плюс 2b минус 3=0,$ откуда $b= минус 3.$

Итак, уравнения касательных $y=x плюс 1,$ $y= минус 3x минус 3.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2474

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1991 год, работа 3, вариант 1

? Классификатор: Касательная к графику функции

Сложность: 9 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь