Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2444
i

Изоб­ра­зи­те мно­же­ство точек ком­плекс­ной плос­ко­сти, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию Im левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: z конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: конец дроби \bar z пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть z=x плюс yi, тогда

Im левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: z конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: \overlinez конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =Im левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: \overlinez, зна­ме­на­тель: z\overlinez конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2z, зна­ме­на­тель: z\overlinez конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = Im левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x минус yi плюс 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс yi пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус yi пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс yi пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =
= Im левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x минус yi плюс 2x плюс 2yi, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = Im левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3x плюс yi, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те конец дроби боль­ше или равно 1.

До­мно­жим на зна­ме­на­тель, он все­гда по­ло­жи­те­лен, кроме слу­чая x=y=0 (то есть z=0). По­лу­чим:

y боль­ше или равно x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те минус y мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те минус y плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Это не­ра­вен­ство за­да­ет круг с цен­тром точке  левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и с ра­ди­у­сом  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Оста­лось толь­ко вы­ко­лоть из него точку z=0.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2450

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1991 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Изоб­ра­же­ние мно­жеств ком­плекс­ных чисел на плос­ко­сти
?
Сложность: 9 из 10