Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2439
i

Для из­го­тов­ле­ния бака за­дан­но­го объёма V тре­бу­ет­ся же­ле­зо двух сор­тов: на бо­ко­вые стен­ки и крыш­ку  — же­ле­зо II сорта, на дно  — I сорта, сто­и­мость ко­то­ро­го в 3 раза боль­ше, чем сто­и­мость II сорта. Бак имеет форму пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с квад­рат­ным ос­но­ва­ни­ем. При каком от­но­ше­нии вы­со­ты бака к сто­ро­не его ос­но­ва­ния за­тра­ты на ма­те­ри­ал будут наи­мень­ши­ми?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть сто­и­мость же­ле­за I сорта равна 3x (за еди­ни­цу), же­ле­за II сорта x (за еди­ни­цу), h  — вы­со­та, a  — сто­ро­на ос­но­ва­ния. Фор­му­ла объ­е­ма V=a в квад­ра­те умно­жить на h. Пусть S(a)  — общие за­тра­ты, тогда

S левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка =x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 4a умно­жить на h плюс a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3x умно­жить на a в квад­ра­те =4x умно­жить на ah плюс 4 xa в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 4xV, зна­ме­на­тель: a конец дроби плюс 4xa в квад­ра­те ;

S' левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 4xV, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби плюс 8ax= дробь: чис­ли­тель: 8a в кубе x минус 4xV, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4x левая круг­лая скоб­ка 2a в кубе минус V пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби

По­лу­ча­ем, что S' левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка =0 для a= ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та . Таким об­ра­зом, a= ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та   — точка ми­ни­му­ма функ­ции S(a). Тогда

h= дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: V в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та конец дроби = ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4V конец ар­гу­мен­та ;

 дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: a конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4V конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та конец дроби =2.

 

Ответ: 2 : 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2433

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1990 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 2
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 10 из 10