Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2426
i

Най­ди­те все числа a, для ко­то­рых функ­ция y= левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 3x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 2 убы­ва­ет на мно­же­стве  R и не имеет кри­ти­че­ских точек.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сразу от­ме­тим, что при a=3 функ­ция при­ни­ма­ет вид y= минус 3x в квад­ра­те минус 2x плюс 2 и не может убы­вать на всей пря­мой (ее гра­фик  — па­ра­бо­ла).

При про­чих a возь­мем про­из­вод­ную. Она долж­на быть всюду от­ри­ца­тель­на (ра­вен­ство нулю тоже за­пре­ще­но усло­ви­ем про кри­ти­че­ские точки).

То есть вы­ра­же­ние 3 левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 6x плюс a минус 5 долж­но быть всюду от­ри­ца­тель­но. Для этого его дис­кри­ми­нант дол­жен быть от­ри­ца­тель­ным, как и стар­ший ко­эф­фи­ци­ент. По­лу­ча­ем

36 минус 4 левая круг­лая скоб­ка a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но 3 минус левая круг­лая скоб­ка a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 боль­ше 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но a в квад­ра­те минус 8a плюс 12 боль­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка a минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a мень­ше 2,a боль­ше 6. конец со­во­куп­но­сти .

Тогда 3 левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, от­сю­да a мень­ше 3. Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем a боль­ше 6.

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 6; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2420

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1990 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 9 из 10