Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2424
i

Най­ди­те все ком­плекс­ные числа z, удо­вле­тво­ря­ю­щие од­но­вре­мен­но двум усло­ви­ям Im левая круг­лая скоб­ка z минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно Re левая круг­лая скоб­ка z плюс i пра­вая круг­лая скоб­ка , |z минус 2 плюс 2i|\leqslant2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Оче­вид­но Im левая круг­лая скоб­ка z минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =Im левая круг­лая скоб­ка z пра­вая круг­лая скоб­ка и Re левая круг­лая скоб­ка z плюс i пра­вая круг­лая скоб­ка =Re левая круг­лая скоб­ка z пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му пер­вое не­ра­вен­ство сво­дит­ся к Im левая круг­лая скоб­ка z пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно Re левая круг­лая скоб­ка z пра­вая круг­лая скоб­ка . Усло­вию Im левая круг­лая скоб­ка z пра­вая круг­лая скоб­ка =Re левая круг­лая скоб­ка z пра­вая круг­лая скоб­ка удо­вле­тво­ря­ют все точки на бис­сек­три­се пер­вой и тре­тьей ко­ор­ди­нат­ной чет­вер­тей, а усло­вию Im левая круг­лая скоб­ка z пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно Re левая круг­лая скоб­ка z пра­вая круг­лая скоб­ка   — еще и точки выше этой бис­сек­три­сы.

Усло­вию \absz минус 2 плюс 2i мень­ше или равно 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та удо­вле­тво­ря­ют все точки, на­хо­дя­щи­е­ся на рас­сто­я­нии не более 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та от точки 2 минус 2i, то есть оно за­да­ет круг с цен­тром в дан­ной точке и ра­ди­у­сом 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

До­ка­жем, что пря­мая y=x ка­са­ет­ся этого круга. В самом деле, рас­сто­я­ние от точки  левая круг­лая скоб­ка 2; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка до пря­мой y минус x=0 со­став­ля­ет

 дробь: чис­ли­тель: \abs минус 2 минус 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Точку ка­са­ния легко уга­дать из ри­сун­ка и про­ве­рить под­ста­нов­кой  — это на­ча­ло ко­ор­ди­нат. По­это­му един­ствен­ная под­хо­дя­щая точка это z=0.

 

Ответ: z  = 0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2418

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1990 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Урав­не­ния с ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми и их си­сте­мы
?
Сложность: 7 из 10