Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2415
i

Рас­сто­я­ние от пес­ча­но­го ка­рье­ра до кир­пич­но­го за­во­да, рас­по­ло­жен­но­го на пря­мо­ли­ней­ной ав­то­ма­ги­стра­ли, равно 30 км. Пес­ча­ный ка­рьер удалён от этой ма­ги­стра­ли на 24 км. Стро­и­тель­ный ко­опе­ра­тив взял под­ряд на стро­и­тель­ство подъ­езд­ной до­ро­ги от ка­рье­ра к ав­то­ма­ги­стра­ли. На каком рас­сто­я­нии от кир­пич­но­го за­во­да долж­на на­хо­дить­ся раз­вил­ка дорог, чтобы время до­став­ки гру­зов от ка­рье­ра до за­во­да было наи­мень­шим, если из­вест­но, что ав­то­ма­ши­ны могут раз­ви­вать на ма­ги­стра­ли ско­рость 52 км/ч, а на подъ­езд­ной до­ро­ге  — 20 км/ч?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим все так, как на ри­сун­ке (подъ­езд­ная до­ро­га AP). За­ме­тим, что по т. Пи­фа­го­ра CB  =  18. Тогда CP=18 минус x. Имеем:

AP= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 18 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

За­пи­шем время, не­об­хо­ди­мое на пре­одо­ле­ние пути A  — P  — B:

t левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: AP, зна­ме­на­тель: 20 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 52 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 36x плюс 900 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 52 конец дроби .

t' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2x минус 36, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 20 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 36x плюс 900 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 52 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 13 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 36 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 40 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 36x плюс 900 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 520 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 36x плюс 900 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

t' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но 13 левая круг­лая скоб­ка x минус 18 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 36x плюс 900 конец ар­гу­мен­та =0 рав­но­силь­но 234 минус 13x=5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 36x плюс 900 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 54756 минус 6084x плюс 169x в квад­ра­те =25x в квад­ра­те минус 900x плюс 22500,13x мень­ше или равно 234 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 144x в квад­ра­те минус 5184x плюс 32256=0,13x мень­ше или равно 234 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус 36x плюс 224,13x мень­ше или равно 234 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x=8.

По­лу­ча­ет­ся, что t' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 при x мень­ше 8 и t' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 при x боль­ше 8, зна­чит, x=8  — точка ми­ни­му­ма.

 

Ответ: в 8 км.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2409

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1990 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 10 из 10