Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2409
i

Вез­де­ход, на­хо­дя­щий­ся на пе­ре­сечённой мест­но­сти в 27 км от пря­мо­ли­ней­ной шос­сей­ной до­ро­ги, дол­жен до­ста­вить гео­ло­гов в населённый пункт, рас­по­ло­жен­ный на шоссе. Рас­сто­я­ние от точки шоссе, бли­жай­шей к вез­де­хо­ду, до населённого пунк­та равно 45 км. По пе­ре­сечённой мест­но­сти вез­де­ход идёт со ско­ро­стью 44 км/ч, а по шоссе  — со ско­ро­стью 55 км/ч. На каком рас­сто­я­нии от населённого пунк­та вез­де­ход дол­жен вы­ехать на шоссе, чтобы время дви­же­ния было наи­мень­шим?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть вез­де­ход вы­ез­жа­ет на шоссе в точке A, уда­лен­ной от на­се­лен­но­го пунк­та на 45 − x км. Тогда за­тра­чен­ное им время ме­ня­ет­ся по за­ко­ну:

t левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 27 в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 44 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 45 минус x, зна­ме­на­тель: 55 конец дроби .

Най­дем точку ми­ни­му­ма этой функ­ции. Най­дем про­из­вод­ную:

t' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: 44 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 729 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 55 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 55x минус 44 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 729 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 44 умно­жить на 55 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 729 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Решим урав­не­ние r' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 :

55x=44 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 729 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 5x=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 729 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 25x в квад­ра­те =16x в квад­ра­те плюс 16 умно­жить на 729,x боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те =16 умно­жить на 81,x боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x=36.

При x мень­ше 36: t' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, а при x боль­ше 36: t' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0. Сле­до­ва­тель­но, x=36  — точка ми­ни­му­ма. Тогда 45 минус x=9.

 

Ответ: в 9 км.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2415

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1990 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 10 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025