Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2401
i

Гра­фик функ­ции y=x в квад­ра­те минус 2x плюс 1 пе­ре­се­ка­ет­ся с гра­фи­ком её пер­во­об­раз­ной в точке с абс­цис­сой 3. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ка­ми этих функ­ций.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те минус 2x плюс 1, тогда F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x в квад­ра­те плюс x плюс C. По усло­вию урав­не­ние

x в квад­ра­те минус 2x плюс 1= дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x в квад­ра­те плюс x плюс C

имеет ко­рень x=3, от­сю­да C=1. Най­дем общие точки гра­фи­ков f(x) и F(x):

x в квад­ра­те минус 2x плюс 1= дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x в квад­ра­те плюс x плюс 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 2x в квад­ра­те плюс 3x=0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 6x плюс 9 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=0,x=3. конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше или равно 0 при 0 мень­ше или равно x мень­ше или равно 3, тогда на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка гра­фик F(x) рас­по­ло­жен выше, чем гра­фик f(x). Зна­чит, пло­щадь, огра­ни­чен­ную гра­фи­ка­ми F(x) и f(x) вы­чис­ля­ем так:

 S = ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до 3, левая круг­лая скоб­ка F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx = ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до 3, левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 2x в квад­ра­те плюс 3x пра­вая круг­лая скоб­ка dx =
= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 0 до 3, = дробь: чис­ли­тель: 81, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 54, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2395

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1990 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 8 из 10