РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2400

Изобразите на чертеже множеств A и B комплексных чисел, удовлетворяющих соответственно уравнениям: $z \barz плюс \baraz плюс a\barz плюс 7=0$ и $|z минус a|=|z минус a минус 6|,$ где $a= минус 2 минус 2i.$ Найдите все общие точки множеств A и B.

Спрятать решение

Решение.

Для начала рассмотрим множество A. Пусть $z=a плюс bi,$ тогда

$левая круглая скобка a плюс bi правая круглая скобка левая круглая скобка a минус bi правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус 2 плюс 2i правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс bi правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус 2 минус 2i правая круглая скобка левая круглая скобка a минус bi правая круглая скобка плюс 7=0 равносильно$
$равносильно a в квадрате плюс b в квадрате минус 2a плюс 2i минус 2bi минус 2b минус 2a минус 2ai плюс 2bi минус 2b плюс 7=0 равносильно$
$равносильно a в квадрате плюс b в квадрате минус 4a минус 4b плюс 7=0 равносильно левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка в квадрате =9,$ $левая круглая скобка a плюс bi правая круглая скобка левая круглая скобка a минус bi правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус 2 плюс 2i правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс bi правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус 2 минус 2i правая круглая скобка левая круглая скобка a минус bi правая круглая скобка плюс 7=0 равносильно$
$равносильно a в квадрате плюс b в квадрате минус 2a плюс 2i минус 2bi минус 2b минус 2a минус 2ai плюс 2bi минус 2b плюс 7=0 равносильно$
$равносильно a в квадрате плюс b в квадрате минус 4a минус 4b плюс 7=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка в квадрате =9,$

то есть множество A  — это окружность с центром $левая круглая скобка 2;2 правая круглая скобка$ и радиусом 3.

Теперь рассмотрим множество B. Имеем:

$\absz плюс 2 плюс 2i=\absz минус 4 плюс 2i,$

это множество точек, равноудаленных от $левая круглая скобка минус 2; минус 2 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 4; минус 2 правая круглая скобка ,$ то есть все точки вида $Re z=1.$

Найдем общие точки A и B. Так как $a=1,$ получаем:

$1 плюс левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка в квадрате =9 равносильно b=2 \pm 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Общие точки $левая круглая скобка 1; 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 1;2 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка .$ Осталось изобразить эти множества.

Ответ: две общих точки $левая круглая скобка 1; 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 1;2 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2394

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1990 год, работа 1, вариант 2

? Классификатор: Изображение множеств комплексных чисел на плоскости

Сложность: 7 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь