Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2394
i

Изоб­ра­зи­те на чер­те­же мно­жеств A и B ком­плекс­ных чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих со­от­вет­ствен­но урав­не­ни­ям: z \barz плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a в сте­пе­ни 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 и \baraz плюс a\barz=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , где a=0,5 левая круг­лая скоб­ка 1 минус i пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­ди­те все общие точки мно­жеств A и B.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Для на­ча­ла рас­смот­рим мно­же­ство A. Пусть z=a плюс bi, тогда

z умно­жить на \barz плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 0,5 левая круг­лая скоб­ка 1 минус i пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 конец дроби =0 рав­но­силь­но a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 1 минус 4i минус 6 плюс 4i плюс 1 конец дроби =0 рав­но­силь­но a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те =4 рав­но­силь­но \absz=2,

то есть мно­же­ство A  — окруж­ность ра­ди­у­са 2 с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат.

Те­перь рас­смот­рим мно­же­ство B. Имеем:

0,5 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс i пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс bi пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 0,5 левая круг­лая скоб­ка 1 минус i пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус bi пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но

рав­но­силь­но a плюс ai плюс bi минус b плюс a минус ai минус bi минус b=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но a минус b=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,

то есть мно­же­ство B  — пря­мая (Rez минус Imz=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ).

Изоб­ра­зим мно­же­ства A и B. Ста­но­вит­ся ясно, что пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: един­ствен­ная общая точка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2400

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1990 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Изоб­ра­же­ние мно­жеств ком­плекс­ных чисел на плос­ко­сти
?
Сложность: 7 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025