Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2372
i

Изоб­ра­зи­те на чер­те­же мно­же­ство всех тех точек ком­плекс­ной плос­ко­сти, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие \left| дробь: чис­ли­тель: z плюс 3, зна­ме­на­тель: i конец дроби |= левая круг­лая скоб­ка 2 плюс i пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: i конец дроби . Най­ди­те все ком­плекс­ные числа с ар­гу­мен­том  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , удо­вле­тво­ря­ю­щие за­дан­но­му ра­вен­ству.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем дан­ное урав­не­ние:

\abs дробь: чис­ли­тель: z плюс 3, зна­ме­на­тель: i конец дроби = левая круг­лая скоб­ка 2 плюс i пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: i конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: |z плюс 3|, зна­ме­на­тель: |i| конец дроби =4 плюс 4i минус 1 минус 4i рав­но­силь­но \absz минус левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =3.

Учи­ты­вая, что |z минус \omega| равен рас­сто­я­нию между точ­ка­ми z и ω на ком­плекс­ной плос­ко­сти, по­лу­ча­ем, что ис­ко­мое мно­же­ство  — ГМТ, на­хо­дя­щих­ся на рас­сто­я­нии 3 от точки −3, то есть окруж­ность в точке −3 ра­ди­у­са 3.

Далее вос­поль­зу­ем­ся гео­мет­ри­че­ски­ми со­об­ра­же­ни­я­ми. Числа с ар­гу­мен­том  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби лежат на от­кры­том луче из точки O, со­став­ля­ю­щий угол  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби с по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем дей­стви­тель­ной оси. Тре­уголь­ник OAB  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, AB  =  OB  =  3, таким об­ра­зом точка A со­от­вет­ству­ет  минус 3 плюс 3i. Число 0 ар­гу­мен­та не имеет, а по­то­му не под­хо­дит.

 

 

 

 

Ответ:  минус 3 плюс 3i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2377

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1989 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Изоб­ра­же­ние мно­жеств ком­плекс­ных чисел на плос­ко­сти
?
Сложность: 5 из 10