РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2356

При каких значениях a прямая $y=a плюс x\ln2$ является касательной к графику функции $y=4 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс x\ln8?$

Спрятать решение

Решение.

Возьмем сначала производную функции $4 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс x натуральный логарифм 8.$ Получим:

$левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс x натуральный логарифм 8 правая круглая скобка '=4 в степени x умножить на натуральный логарифм 4 минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка натуральный логарифм 2 умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка ' плюс натуральный логарифм 8=$
$=4 в степени x умножить на натуральный логарифм 2 в квадрате минус 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка натуральный логарифм 2 умножить на 1 плюс натуральный логарифм 2 в кубе = 4 в степени x умножить на 2 натуральный логарифм 2 минус 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка натуральный логарифм 2 плюс 3 натуральный логарифм 2= натуральный логарифм 2 левая круглая скобка 2 умножить на 4 в степени x минус 4 умножить на 2 в степени x плюс 3 правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс x натуральный логарифм 8 правая круглая скобка '=4 в степени x умножить на натуральный логарифм 4 минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка натуральный логарифм 2 умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка ' плюс натуральный логарифм 8=$
$=4 в степени x умножить на натуральный логарифм 2 в квадрате минус 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка натуральный логарифм 2 умножить на 1 плюс натуральный логарифм 2 в кубе =$
$= 4 в степени x умножить на 2 натуральный логарифм 2 минус 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка натуральный логарифм 2 плюс 3 натуральный логарифм 2= натуральный логарифм 2 левая круглая скобка 2 умножить на 4 в степени x минус 4 умножить на 2 в степени x плюс 3 правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс x натуральный логарифм 8 правая круглая скобка '=$
$=4 в степени x умножить на натуральный логарифм 4 минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка натуральный логарифм 2 умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка ' плюс натуральный логарифм 8=$
$=4 в степени x умножить на натуральный логарифм 2 в квадрате минус 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка натуральный логарифм 2 умножить на 1 плюс натуральный логарифм 2 в кубе =$
$= 4 в степени x умножить на 2 натуральный логарифм 2 минус 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка натуральный логарифм 2 плюс 3 натуральный логарифм 2=$
$= натуральный логарифм 2 левая круглая скобка 2 умножить на 4 в степени x минус 4 умножить на 2 в степени x плюс 3 правая круглая скобка .$

Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, получаем

$натуральный логарифм 2 левая круглая скобка 2 умножить на 4 в степени x минус 4 умножить на 2 в степени x плюс 3 правая круглая скобка = натуральный логарифм 2 равносильно 2 умножить на 4 в степени x минус 4 умножить на 2 в степени x плюс 3=1.$

Решим это уравнение. Пусть $2 в степени x =t,$ тогда

$2t в квадрате минус 4t плюс 3 минус 1=0 равносильно 2t в квадрате минус 4t плюс 2=0 равносильно 2 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно t=1,$

Сделав обратную замену, получаем $2 в степени x =1 равносильно x=0.$ Итак, абсцисса точки касания равна 0, тогда

$y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =4 в степени 0 минус 2 в квадрате плюс 0 умножить на натуральный логарифм 8=1 минус 4 плюс 0= минус 3.$

Значит, уравнение касательной имеет вид $y= натуральный логарифм 2 левая круглая скобка x минус 0 правая круглая скобка минус 3 равносильно y= минус 3 плюс натуральный логарифм 2 x,$ откуда $a= минус 3.$

Ответ: a  =  −3.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2361

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1988 год, работа 3, вариант 1

? Классификатор: Задачи с параметром

Сложность: 9 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь