Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2361
i

При каких зна­че­ни­ях a пря­мая y  =  a + x ln 81 яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции y=9 в сте­пе­ни x плюс 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус x\ln81?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Возь­мем сна­ча­ла про­из­вод­ную функ­ции 9 в сте­пе­ни x плюс 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус x на­ту­раль­ный ло­га­рифм 81. По­лу­чим

 левая круг­лая скоб­ка 9 в сте­пе­ни x плюс 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус x на­ту­раль­ный ло­га­рифм 81 пра­вая круг­лая скоб­ка '=9 в сте­пе­ни x умно­жить на на­ту­раль­ный ло­га­рифм 9 плюс 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ' минус на­ту­раль­ный ло­га­рифм 81=
=9 в сте­пе­ни x умно­жить на на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 в квад­ра­те плюс 6 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 умно­жить на 1 минус на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 в сте­пе­ни 4 = 9 в сте­пе­ни x умно­жить на 2 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 плюс 6 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 минус 4 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3= на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 левая круг­лая скоб­ка 2 умно­жить на 9 в сте­пе­ни x плюс 6 умно­жить на 3 в сте­пе­ни x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­сколь­ку уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной равен зна­че­нию про­из­вод­ной в точке ка­са­ния, по­лу­ча­ем

 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 левая круг­лая скоб­ка 2 умно­жить на 9 в сте­пе­ни x плюс 6 умно­жить на 3 в сте­пе­ни x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = на­ту­раль­ный ло­га­рифм 81 рав­но­силь­но на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 левая круг­лая скоб­ка 2 умно­жить на 9 в сте­пе­ни x плюс 6 умно­жить на 3 в сте­пе­ни x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =4 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 рав­но­силь­но 2 умно­жить на 9 в сте­пе­ни x плюс 6 умно­жить на 3 в сте­пе­ни x минус 4=4.

Решим это урав­не­ние. Пусть 3 в сте­пе­ни x =t, тогда

2t в квад­ра­те плюс 6t минус 4 минус 4=0 рав­но­силь­но 2t в квад­ра­те плюс 6t минус 8=0 рав­но­силь­но t в квад­ра­те плюс 3t минус 4=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t=1,t= минус 4 левая круг­лая скоб­ка не­воз­мож­но пра­вая круг­лая скоб­ка . конец со­во­куп­но­сти .

Сде­лав об­рат­ную за­ме­ну, по­лу­ча­ем 3 в сте­пе­ни x =1 рав­но­силь­но x=0. Итак, абс­цис­са точки ка­са­ния равна 0, тогда

y левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =9 в сте­пе­ни 0 плюс 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 0 умно­жить на на­ту­раль­ный ло­га­рифм 81=1 плюс 6 минус 0=7.

Зна­чит, урав­не­ние ка­са­тель­ной имеет вид y= на­ту­раль­ный ло­га­рифм 81 левая круг­лая скоб­ка x минус 0 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 7, y=7 плюс на­ту­раль­ный ло­га­рифм 81 x, от­ку­да a  =  7.

 

Ответ: a  =  7.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2356

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1988 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: За­да­чи с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 9 из 10