РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2347

Известно, что число $x_1= левая круглая скобка синус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс i косинус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка в степени 4$ является корнем уравнения $x в кубе плюс левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате x минус 2a в квадрате минус 1=0,$ $a принадлежит R .$ Найдите значение a и решите уравнение при найденном значении a.

Спрятать решение

Решение.

Выполним преобразования:

$левая круглая скобка синус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс i косинус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка в степени 4 = левая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка плюс i синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка в степени 4 =$

$= левая круглая скобка косинус дробь: числитель: минус Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: минус Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка в степени 4 = косинус дробь: числитель: минус 4 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: минус 4 Пи , знаменатель: 8 конец дроби = минус i.$

Итак, x  =  −i является корнем уравнения. Подставим его:

$левая круглая скобка минус i правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка минус i правая круглая скобка в квадрате плюс a в квадрате левая круглая скобка минус i правая круглая скобка минус 2a в квадрате минус 1=0 равносильно i минус левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка минус a в квадрате i минус 2a в квадрате минус 1=0 равносильно$ $левая круглая скобка минус i правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка минус i правая круглая скобка в квадрате плюс a в квадрате левая круглая скобка минус i правая круглая скобка минус 2a в квадрате минус 1=0 равносильно$
$равносильно i минус левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка минус a в квадрате i минус 2a в квадрате минус 1=0 равносильно$

$равносильно i минус a плюс 2 минус a в квадрате i минус 2a в квадрате минус 1=0 равносильно минус a плюс 1 минус 2a в квадрате плюс i левая круглая скобка 1 минус a в квадрате правая круглая скобка =0.$

Поскольку $a принадлежит R ,$ это равносильно $минус 2a в квадрате минус a плюс 1=0$ и $1 минус a в квадрате =0.$ Корнями второго уравнения являются a = ±1, но только a  =  −1 подходит в первое уравнение. Значит, уравнение имеет вид

$x в кубе минус 3x в квадрате плюс x минус 3=0 равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 3=0 равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=3,x=\pm i. конец совокупности .$ $x в кубе минус 3x в квадрате плюс x минус 3=0 равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 3=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=3,x=\pm i. конец совокупности .$

Ответ: $a= минус 1;$ $x=3,$ $x=\pm i.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2342

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1988 год, работа 2, вариант 2

? Классификатор: Действия над комплексными числами , Уравнения с параметром

Сложность: 5 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь