Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2342
i

Из­вест­но, что число x_1= левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус i ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния x в кубе минус левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те x минус 1 минус a в квад­ра­те =0, a при­над­ле­жит R . Най­ди­те зна­че­ние a и ре­ши­те урав­не­ние при най­ден­ном зна­че­нии a.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

 левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус i ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 = левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус i синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 =

= левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус i синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 = левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: минус Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: минус Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 = ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: минус 4 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: минус 4 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = минус i.

Итак, x  =  −i яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния. Под­ста­вим его:

 левая круг­лая скоб­ка минус i пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе минус левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус i пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка минус i пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 минус a в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но i плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус a в квад­ра­те i минус 1 минус a в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но a плюс 2 минус a в квад­ра­те плюс i левая круг­лая скоб­ка 1 минус a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

По­сколь­ку a при­над­ле­жит R , это рав­но­силь­но  минус a в квад­ра­те плюс a плюс 2=0 и 1 минус a в квад­ра­те =0. Кор­ня­ми вто­ро­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся a=\pm 1, но толь­ко a= минус 1 под­хо­дит в пер­вое урав­не­ние. Зна­чит, урав­не­ние имеет вид

x в кубе минус 2x в квад­ра­те плюс x минус 2=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс x минус 2=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=2,x=\pm i. конец со­во­куп­но­сти .

Ответ: a= минус 1; x=2, x=\pm i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2347

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1988 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Дей­ствия над ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми , Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 5 из 10