Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2338
i

Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния и об­ласть зна­че­ний функ­ции y= дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 3x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \tfrac Пи 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем об­ласть опре­де­ле­ния. Функ­ция опре­де­ле­на везде, кроме точек, где

 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус Пи k= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус Пи k,k при­над­ле­жит Z .

Пре­об­ра­зу­ем функ­цию:

 дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 3x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \tfrac Пи 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 ко­си­нус в кубе x минус 3 ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \tfrac Пи 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 4 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \tfrac Пи 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 4 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 3 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те x плюс синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \tfrac Пи 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =

= дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 4 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 3 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 3 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \tfrac Пи 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те x минус 3 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \tfrac Пи 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =

= дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \tfrac Пи 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка \tfrac12 ко­си­нус x минус \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \tfrac12 ко­си­нус x плюс \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 2 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \tfrac Пи 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =

= дробь: чис­ли­тель: 4 ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус \tfrac Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­си­нус x минус синус \tfrac Пи 3 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус \tfrac Пи 3 ко­си­нус x плюс синус \tfrac Пи 3 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \tfrac Пи 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =
= дробь: чис­ли­тель: 4 ко­си­нус x ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \tfrac Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \tfrac Пи 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \tfrac Пи 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =4 ко­си­нус x ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =

=2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =
=2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1.

Об­ласть зна­че­ний функ­ции  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка   — [−1; 1]. Но при этом не­ко­то­рые зна­че­ния при­дет­ся вы­бро­сить, из-за того, что они при­ни­ма­ют­ся толь­ко в точ­ках вида x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k, ко­то­рые на самом деле под­став­лять нель­зя. Най­дем эти зна­че­ния:

 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2 левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус 2 Пи k=1.

Тем самым, зна­че­ние 1 при­дет­ся ис­клю­чить  — все точки, в ко­то­рых оно могли бы при­ни­мать­ся, не лежат в ОДЗ. Убе­дим­ся в этом:

 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1 рав­но­силь­но 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =2 Пи k рав­но­силь­но x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k.

Как видно, все эти зна­че­ния дей­стви­тель­но за­пре­ще­ны.

Итак,  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка при­ни­ма­ет на об­ла­сти опре­де­ле­ния ис­ход­ной функ­ции все зна­че­ния из [−1; 1), по­это­му 2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 при­ни­ма­ет на об­ла­сти опре­де­ле­ния ис­ход­ной функ­ции все зна­че­ния из  левая квад­рат­ная скоб­ка 2 левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1;2 умно­жить на 1 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: Об­ласть опре­де­ле­ния x не равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z , об­ласть зна­че­ний [−1; 3).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2333

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1988 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции
?
Сложность: 6 из 10