Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2338

Найдите область определения и область значений функции y= дробь: числитель: косинус 3x, знаменатель: косинус левая круглая скобка \tfrac Пи 3 минус x правая круглая скобка конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Найдем область определения. Функция определена везде, кроме точек, где

 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка =0 равносильно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус Пи k= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус Пи k,k принадлежит Z .

Преобразуем функцию:

 дробь: числитель: косинус 3x, знаменатель: косинус левая круглая скобка \tfrac Пи 3 минус x правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 4 косинус в кубе x минус 3 косинус x, знаменатель: косинус левая круглая скобка \tfrac Пи 3 минус x правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: косинус x(4 косинус в квадрате x минус 3), знаменатель: косинус левая круглая скобка \tfrac Пи 3 минус x правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: косинус x(4 косинус в квадрате x минус 3( косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x)), знаменатель: косинус левая круглая скобка \tfrac Пи 3 минус x правая круглая скобка конец дроби =

= дробь: числитель: косинус x(4 косинус в квадрате x минус 3 косинус в квадрате x минус 3 синус в квадрате x)), знаменатель: косинус левая круглая скобка \tfrac Пи 3 минус x правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: косинус x( косинус в квадрате x минус 3 синус в квадрате x)), знаменатель: косинус левая круглая скобка \tfrac Пи 3 минус x правая круглая скобка конец дроби =

= дробь: числитель: косинус x( косинус x минус корень из (3) синус x)( косинус x плюс корень из (3) синус x), знаменатель: косинус левая круглая скобка \tfrac Пи 3 минус x правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 4 косинус x левая круглая скобка \tfrac12 косинус x минус \tfrac корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби синус x правая круглая скобка левая круглая скобка \tfrac12 косинус x плюс \tfrac корень из (3) 2 синус x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка \tfrac Пи 3 минус x правая круглая скобка =

= дробь: числитель: 4 косинус x левая круглая скобка косинус \tfrac Пи , знаменатель: 3 конец дроби косинус x минус синус \tfrac Пи 3 синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус \tfrac Пи 3 косинус x плюс синус \tfrac Пи 3 синус x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка \tfrac Пи 3 минус x правая круглая скобка =
= дробь: числитель: 4 косинус x косинус левая круглая скобка \tfrac Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка \tfrac Пи 3 минус x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка \tfrac Пи 3 минус x правая круглая скобка =4 косинус x косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс x правая круглая скобка =

=2 левая круглая скобка косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка правая круглая скобка =2 левая круглая скобка косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка =
=2 левая круглая скобка косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = 2 косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс 1.

Область значений функции  косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка  — [−1; 1]. Но при этом некоторые значения придется выбросить, из-за того, что они принимаются только в точках вида x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, которые на самом деле подставлять нельзя. Найдем эти значения:

 косинус левая круглая скобка 2 левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k правая круглая скобка плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = косинус 2 Пи k=1.

Тем самым, значение 1 придется исключить — все точки, в которых оно могли бы приниматься, не лежат в ОДЗ. Убедимся в этом:

 косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =1 равносильно 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби =2 Пи k равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k.

Как видно, все эти значения действительно запрещены.

Итак,  косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка принимает на области определения исходной функции все значения из [−1; 1), поэтому 2 косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс 1 принимает на области определения исходной функции все значения из [2( минус 1) плюс 1;2 умножить на 1 плюс 1)=[ минус 1;3).

 

Ответ: Область определения x не равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z , область значений [−1; 3).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2333

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1988 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Область определения функции
?
Сложность: 6 из 10