Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2337

Решите уравнение z в степени 4 плюс (2 минус 4i)z в квадрате минус (1 минус i) в степени 6 =0.

Спрятать решение

Решение.

Имеем:

(1 минус i) в степени 6 = левая круглая скобка корень из (2) левая круглая скобка дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби i правая круглая скобка правая круглая скобка в степени 6 = левая круглая скобка корень из (2) левая круглая скобка косинус дробь: числитель: минус Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: минус Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка в степени 6 =
= корень из (2) в степени 6 левая круглая скобка косинус дробь: числитель: минус 6 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: минус 6 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =8(0 плюс i)=8i.

Получаем

z в степени 4 плюс (2 минус 4i)z в квадрате минус 8i=0 равносильно z в степени 4 плюс 2z в квадрате минус 4iz в квадрате минус 8i=0 равносильно z в квадрате (z в квадрате плюс 2) минус 4i(z в квадрате плюс 2)=0 равносильно (z в квадрате минус 4i)(z в квадрате плюс 2)=0.

Значит, либо z в квадрате =4i, либо z в квадрате = минус 2. Решим эти уравнения, записав z в тригонометрической форме. Пусть z=r( косинус \varphi плюс i синус \varphi), тогда z в квадрате =r в квадрате ( косинус 2\varphi плюс i синус 2\varphi).

Если z в квадрате =4i, то

r в квадрате ( косинус 2\varphi плюс i синус 2\varphi)=4 левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,

откуда r=2 и \varphi= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z . Для получения всех возможных ответов достаточно взять k = 0, 1. Тогда получим:

z=2 левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = корень из (2) плюс корень из (2) i,

z=2 левая круглая скобка косинус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус корень из (2) минус корень из (2) i.

Если z в квадрате = минус 2, то

r в квадрате ( косинус 2\varphi плюс i синус 2\varphi)=2( косинус Пи плюс i синус Пи ),

откуда r= корень из (2) и \varphi= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z . Для получения всех возможных ответов достаточно взять k = 0, 1. Тогда получим:

z= корень из (2) левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = корень из (2) i,

z= корень из (2) левая круглая скобка косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус корень из (2) i.

Ответ: z принадлежит \\pm корень из (2) i,\pm( корень из (2) плюс корень из (2) i)\.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2332

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1988 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Уравнения с комплексными числами и их системы
?
Сложность: 5 из 10