Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2331
i

При каких a > 0 пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y= дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби , x  =  a, x  =  2a, y  =  0, будет наи­мень­шей?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим за F(a) какую-ни­будь пер­во­об­раз­ную функ­ции y= дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби , тогда пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции будет равна

 при­над­ле­жит t\limits_a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка dx=F левая круг­лая скоб­ка 2a пра­вая круг­лая скоб­ка минус F левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка ,

не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее зна­че­ние этой функ­ции. Возь­мем ее про­из­вод­ную:

 левая круг­лая скоб­ка F левая круг­лая скоб­ка 2a пра­вая круг­лая скоб­ка минус F левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '=F' левая круг­лая скоб­ка 2a пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2 минус F' левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка =2y левая круг­лая скоб­ка 2a пра­вая круг­лая скоб­ка минус y левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка =2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 8a в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 4a в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =
= дробь: чис­ли­тель: 16a в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: a в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 15a в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби =5a в кубе минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5a в сте­пе­ни 5 минус 5, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 левая круг­лая скоб­ка a в сте­пе­ни 5 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби ,

по­это­му про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на при a < 1 и по­ло­жи­тель­на при a > 1. Зна­чит, эта функ­ция убы­ва­ет при a < 1 и воз­рас­та­ет при a > 1, а наи­мень­шее зна­че­ние при­ни­ма­ет в точке a  =  1.

 

Ответ: a  =  1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2326

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1987 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Па­ра­метр в за­да­чах с ин­те­гри­ро­ва­ни­ем
?
Сложность: 9 из 10