Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2305
i

Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции y= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби , ка­са­тель­ной к гра­фи­ку этой функ­ции в точке с абс­цис­сой x0  =  1 и пря­мой x  =  2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сна­ча­ла возь­мем про­из­вод­ную:

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '= левая круг­лая скоб­ка 2 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '=2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка '=
=2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2= минус 8 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе конец дроби .

Зна­чит, y' левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 1 в кубе конец дроби = минус 8, y левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 1 в квад­ра­те конец дроби =2, и урав­не­ние ка­са­тель­ной имеет вид

y= минус 8 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 рав­но­силь­но y= минус 8x плюс 8 плюс 2 рав­но­силь­но y= минус 8x плюс 10.

За­ме­тим, что

y''= левая круг­лая скоб­ка минус 8 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '= минус 8 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка '=
= минус 8 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2=48 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0

при всех x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , по­это­му функ­ция на этом про­ме­жут­ке вы­пук­ла вниз и, зна­чит, ее гра­фик лежит це­ли­ком выше ка­са­тель­ной. По­это­му

S= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 1 до 2, левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка минус 8x плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 1 до 2, левая круг­лая скоб­ка 2 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 8x минус 10 пра­вая круг­лая скоб­ка dx левая круг­лая скоб­ка 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: минус 1 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4x в квад­ра­те минус 10x пра­вая круг­лая скоб­ка |_1 в квад­ра­те =

= левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби плюс 4x в квад­ра­те минус 10x пра­вая круг­лая скоб­ка |_1 в квад­ра­те = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 4 умно­жить на 4 минус 10 умно­жить на 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби минус 4 умно­жить на 1 плюс 10 умно­жить на 1=
= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 16 минус 20 плюс 1 минус 4 плюс 10=3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2310

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1987 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 8 из 10