Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2295
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной кри­вой y  =  x2 − 2x, ка­са­тель­ной к этой кри­вой в точке с абс­цис­сой x0  =  3 и пря­мой x  =  −1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вы­чис­лим сна­ча­ла про­из­вод­ную этой функ­ции: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка '=2x минус 2, по­это­му y' левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =6 минус 2=4, y левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =9 минус 6=3 и урав­не­ние ка­са­тель­ной имеет вид

y=4 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 рав­но­силь­но y=4x минус 12 плюс 3 рав­но­силь­но y=4x минус 9.

По­сколь­ку она ка­са­тель­ная к па­ра­бо­ле, дру­гих общих точек с па­ра­бо­лой она не имеет. Вы­бе­рем про­из­воль­ную точку на от­рез­ке [−1; 3], на­при­мер x  =  0. Тогда x в квад­ра­те минус 2x=0 и 4x минус 9= минус 9, зна­чит, пря­мая про­хо­дит ниже па­ра­бо­лы. Тогда

S= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус 1 до 3, левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2x минус левая круг­лая скоб­ка 4x минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус 1 до 3, левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2x минус 4x плюс 9 пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус 1 до 3, левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те dx= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка |_ минус 1 в кубе = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 0 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 64 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 64, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 64, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2300

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1986 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 8 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025