Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2295

Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой y = x2 − 2x, касательной к этой кривой в точке с абсциссой x0 = 3 и прямой x = −1.

Спрятать решение

Решение.

Вычислим сначала производную этой функции: (x в квадрате минус 2x)'=2x минус 2, поэтому y'(3)=6 минус 2=4, y(3)=9 минус 6=3 и уравнение касательной имеет вид

y=4(x минус 3) плюс 3 равносильно y=4x минус 12 плюс 3 равносильно y=4x минус 9.

Поскольку она касательная к параболе, других общих точек с параболой она не имеет. Выберем произвольную точку на отрезке [−1; 3], например x = 0. Тогда x в квадрате минус 2x=0 и 4x минус 9= минус 9, значит, прямая проходит ниже параболы. Тогда

S= принадлежит t\limits_ минус 1 в кубе (x в квадрате минус 2x минус (4x минус 9))dx= принадлежит t\limits_ минус 1 в кубе (x в квадрате минус 2x минус 4x плюс 9)dx=
= принадлежит t\limits_ минус 1 в кубе (x минус 3) в квадрате dx=\left. левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (x минус 3) в кубе правая круглая скобка |_ минус 1 в кубе = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 0 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на ( минус 64)= дробь: числитель: 64, знаменатель: 3 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 64, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2300

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1986 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 8 из 10