Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2288

Найдите все корни уравнения 3 плюс косинус 2x= минус 3\ctg x, принадлежащие  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение:

3 плюс косинус 2x= минус 3\ctg x равносильно 3 плюс косинус в квадрате x минус синус в квадрате x= минус 3\ctg x равносильно 3( синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x) плюс косинус в квадрате x минус синус в квадрате x= минус 3\ctg x равносильно

 равносильно 3 синус в квадрате x плюс 3 косинус в квадрате x плюс косинус в квадрате x минус синус в квадрате x= минус 3\ctg x равносильно 2 синус в квадрате x плюс 4 косинус в квадрате x= минус 3\ctg x равносильно дробь: числитель: 2 синус в квадрате x плюс 4 косинус в квадрате x, знаменатель: синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x конец дроби = минус 3\ctg x.

Поделим числитель и знаменатель на  синус в квадрате x (в уравнении уже есть \ctg x, поэтому  синус x не равно 0):

 дробь: числитель: 2 плюс \tfrac4 косинус в квадрате x, знаменатель: синус в квадрате x конец дроби 1 плюс \tfrac косинус в квадрате x синус в квадрате x= минус 3\ctg x равносильно дробь: числитель: 2 плюс 4\ctg в квадрате x, знаменатель: \ctg в квадрате x плюс 1 конец дроби = минус 3\ctg x.

Обозначим \ctg x=t, тогда получаем

 дробь: числитель: 2 плюс 4t в квадрате , знаменатель: t в квадрате плюс 1 конец дроби = минус 3t равносильно 2 плюс 4t в квадрате = минус 3t(t в квадрате плюс 1) равносильно 2 плюс 4t в квадрате = минус 3t в кубе минус 3t равносильно 3t в кубе плюс 4t в квадрате плюс 3t плюс 2=0.

У многочлена в левой части есть корень t = −1, поэтому можно выделить множитель t + 1: (t плюс 1)(3t в квадрате плюс t плюс 2)=0. У второго множителя дискриминант отрицателен, поэтому корней у него нет. Тогда

t= минус 1 равносильно \ctg x= минус 1 равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k.

На отрезке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка лежит только x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2283

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1986 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 6 из 10