Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2283
i

Най­ди­те все корни урав­не­ния 2 плюс синус 2x=3 тан­генс x, при­над­ле­жа­щие  левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

2 плюс синус 2x=3 тан­генс x рав­но­силь­но 2 плюс 2 синус x ко­си­нус x=3 тан­генс x рав­но­силь­но 2 левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 синус x ко­си­нус x=3 тан­генс x рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 синус x ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби =3 тан­генс x.

По­де­лим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на  ко­си­нус в квад­ра­те x (в урав­не­нии уже есть  тан­генс x, по­это­му  ко­си­нус x не равно 0):

 дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка \tfrac синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2\tfrac синус x ко­си­нус x\tfrac синус в квад­ра­те x ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 1=3 тан­генс x рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка тан­генс в квад­ра­те x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 тан­генс x, зна­ме­на­тель: тан­генс в квад­ра­те x плюс 1 конец дроби =3 тан­генс x.

Обо­зна­чим  тан­генс x=t, тогда по­лу­ча­ем

 дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2t, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те плюс 1 конец дроби =3t рав­но­силь­но 2t в квад­ра­те плюс 2 плюс 2t=3t левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 2t в квад­ра­те плюс 2t плюс 2=3t в кубе плюс 3t рав­но­силь­но 3t в кубе минус 2t в квад­ра­те плюс t минус 2=0.

У мно­го­чле­на в левой части есть ко­рень t  =  1, по­это­му можно вы­де­лить мно­жи­тель t − 1:  левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3t в квад­ра­те плюс t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0. У вто­ро­го мно­жи­те­ля дис­кри­ми­нант от­ри­ца­те­лен, по­это­му кор­ней у него нет. Тогда

t=1 рав­но­силь­но тан­генс x=1 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k.

На от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка лежит толь­ко x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2288

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1986 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 6 из 10