№ 2261 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 19. Применение производной к задачам оптимизации в геометрии
i
Правильная четырёхугольная пирамида описана около шара радиуса R. Боковая грань пирамиды образует с плоскостью основания угол 2α. При каком значении α площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через высоту и апофему пирамиды, будет наименьшей?
Спрятать решениеРешение. Можно считать, что радиус шара равен 1 (при гомотетии все отношения площадей и отрезков сохранятся, как и углы, а итоговый ответ просто домножим на R2). Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через апофемы противоположных граней. В нем мы увидим равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиуса 1.
Пусть высота пирамиды равна h, а сторона основания равна 2x. Тогда площадь сечения равна
С другой стороны, радиус вписанной окружности треугольника равен его площади, деленной на полупериметр, поэтому









Значит, площадь сечения равна
и наша задача — найти наименьшее значение этой функции при x > 1. Возьмем производную:





что положительно при
и отрицательно при
Значит, функция
возрастает при
убывает при
и достигает наименьшего значения при
Итак, у треугольника основание равно
высота равна
поэтому

Площадь сечения равна 
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 
Задание парного варианта: 2256