Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2261
i

Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да опи­са­на около шара ра­ди­у­са R. Бо­ко­вая грань пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 2α. При каком зна­че­нии α пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вы­со­ту и апо­фе­му пи­ра­ми­ды, будет наи­мень­шей?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Можно счи­тать, что ра­ди­ус шара равен 1 (при го­мо­те­тии все от­но­ше­ния пло­ща­дей и от­рез­ков со­хра­нят­ся, как и углы, а ито­го­вый ответ про­сто до­мно­жим на R2). Рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­щее через апо­фе­мы про­ти­во­по­лож­ных гра­ней. В нем мы уви­дим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, в ко­то­рый впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са 1.

Пусть вы­со­та пи­ра­ми­ды равна h, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 2x. Тогда пло­щадь се­че­ния равна  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби h умно­жить на 2x=hx. С дру­гой сто­ро­ны, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка равен его пло­ща­ди, де­лен­ной на по­лу­пе­ри­метр, по­это­му

1= дробь: чис­ли­тель: hx, зна­ме­на­тель: \tfrac12 левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: hx, зна­ме­на­тель: x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =hx рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но hx минус x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка hx минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =h в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но h в квад­ра­те x в квад­ра­те минус 2hx в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те =h в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те рав­но­силь­но h в квад­ра­те x в квад­ра­те минус 2hx в квад­ра­те =h в квад­ра­те рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но hx в квад­ра­те минус 2x в квад­ра­те =h рав­но­силь­но h левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =2x в квад­ра­те рав­но­силь­но h= дробь: чис­ли­тель: 2x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 1 конец дроби .

Зна­чит, пло­щадь се­че­ния равна hx= дробь: чис­ли­тель: 2x в кубе , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 1 конец дроби и наша за­да­ча  — найти наи­мень­шее зна­че­ние этой функ­ции при x > 1. Возь­мем про­из­вод­ную:

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2x в кубе , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка ' левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка '2x в кубе , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2x умно­жить на 2x в кубе , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 6x в сте­пе­ни 4 минус 6x в квад­ра­те минус 4x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2x в сте­пе­ни 4 минус 6x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби ,

что по­ло­жи­тель­но при x боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та и от­ри­ца­тель­но при x мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Зна­чит, функ­ция  дробь: чис­ли­тель: 2x в кубе , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 1 конец дроби воз­рас­та­ет при x боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , убы­ва­ет при x мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та и до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния при x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Итак, у тре­уголь­ни­ка ос­но­ва­ние равно 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , вы­со­та равна  дробь: чис­ли­тель: 2x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 3, зна­ме­на­тель: 3 минус 1 конец дроби =3, по­это­му

 тан­генс 2 альфа = дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 2 альфа = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но альфа = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Пло­щадь се­че­ния равна R в квад­ра­те умно­жить на xh=R в квад­ра­те умно­жить на 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та R в квад­ра­те .

 

Ответ:  альфа = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2256

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1985 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Гео­мет­рия
?
Сложность: 9 из 10