PDF-версии: 
Правильная четырёхугольная пирамида описана около шара радиуса R. Боковая грань пирамиды образует с плоскостью основания угол 2α. При каком значении α площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через высоту и апофему пирамиды, будет наименьшей?
Решение. Можно считать, что радиус шара равен 1 (при гомотетии все отношения площадей и отрезков сохранятся, как и углы, а итоговый ответ просто домножим на R2). Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через апофемы противоположных граней. В нем мы увидим равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиуса 1.
Пусть высота пирамиды равна h, а сторона основания равна 2x. Тогда площадь сечения равна 
С другой стороны, радиус вписанной окружности треугольника равен его площади, деленной на полупериметр, поэтому
Значит, площадь сечения равна 
и наша задача — найти наименьшее значение этой функции при x > 1. Возьмем производную:
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция 
возрастает при 
убывает при 
и достигает наименьшего значения при 
Итак, у треугольника основание равно 
высота равна 
поэтому
Площадь сечения равна 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |