Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2230

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2 в степени (x плюс 4) минус 5 и y= целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 x плюс 11 (\ln2\approx0,69).

Спрятать решение

Решение.

Найдем сначала точки пересечения этих линий, решив уравнение:

2 в степени (x плюс 4) минус 5= целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 x плюс 11 равносильно 2 в степени (x) умножить на 2 в степени 4 = целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 x плюс 16 равносильно 2 в степени (x) умножить на 16 = дробь: числитель: 15}4 x плюс 16 равносильно 2 в степени x = дробь: числитель: {, знаменатель: 1 конец дроби 5, знаменатель: 64 конец дроби x плюс 1.

Функция y=2 в степени x является выпуклой, поэтому не может пересекать прямую более чем в двух точках. Нетрудно видеть, что x = 0 и x = −4 подходят. При этом в точке, например, x = −2 имеем 2 в степени (x плюс 4) минус 5=2 в квадрате минус 5= минус 1 и  целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 x плюс 11= минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби плюс 11= дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби , поэтому график y=2 в степени (x плюс 4) минус 5 расположен при x принадлежит [ минус 4;0] ниже прямой y= целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 x плюс 11. Теперь найдём площадь:

S= принадлежит t\limits_ минус 4 в степени 0 левая круглая скобка целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 x плюс 11 минус (2 в степени (x плюс 4) минус 5) правая круглая скобка dx= принадлежит t\limits_ минус 4 в степени 0 левая круглая скобка целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 x плюс 11 минус 2 в степени (x плюс 4) плюс 5 правая круглая скобка dx= принадлежит t\limits_ минус 4 в степени 0 левая круглая скобка 16 плюс целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 x минус 2 в степени (x плюс 4) правая круглая скобка dx=
=\left. левая круглая скобка 16x плюс целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате минус дробь: числитель: 2 в степени (x плюс 4) , знаменатель: \ln 2 конец дроби правая круглая скобка |_ минус 4 в степени 0 = 16 умножить на 0 плюс дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби умножить на 0 минус дробь: числитель: 2 в степени (4) , знаменатель: \ln 2 конец дроби минус 16 умножить на ( минус 4) минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби умножить на 16 плюс дробь: числитель: 2 в степени (0) , знаменатель: \ln 2 конец дроби =
= 0 плюс 0 минус дробь: числитель: 16, знаменатель: \ln 2 конец дроби плюс 64 минус 30 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \ln 2 конец дроби =34 минус дробь: числитель: 15, знаменатель: \ln 2 конец дроби \approx 34 минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 0,69 конец дроби \approx 12,26.

Ответ: 34 минус дробь: числитель: 15, знаменатель: \ln 2 конец дроби \approx 12,26.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2225

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1984 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 8 из 10