Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2227

Найдите все комплексные числа z=x плюс yi, (x принадлежит R ,y принадлежит R ), удовлетворяющие условию |z|=i(2z минус 1).

Спрятать решение

Решение.

Поскольку |z| — вещественное число, то и i(2z минус 1) должно быть вещественным, то есть 2z минус 1 должно быть чисто мнимым. Значит, z= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс yi. Теперь подставим в исходное выражение:

\abs дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс yi=i левая круглая скобка 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс yi правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка равносильно корень из ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс y в квадрате ) =i(1 плюс 2yi минус 1) равносильно корень из ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс y в квадрате ) =2yi в квадрате равносильно

 равносильно корень из ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс y в квадрате ) = минус 2y равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс y в квадрате =4y в квадрате равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби =3y в квадрате равносильно y в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби равносильно y=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (12) конец дроби .

Подходит только y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (12) конец дроби , поскольку y меньше или равно 0 из уравнения  корень из ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс y в квадрате ) = минус 2y.

 

Ответ: x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (12) конец дроби i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2222

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1984 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Действия над комплексными числами
?
Сложность: 5 из 10