PDF-версии: 
Радиус сферы равен 3. В сферу вписана правильная четырёхугольная пирамида так, что все её вершины принадлежат сфере. Найдите наибольший возможный объём пирамиды.
Решение. Пусть S — вершина пирамиды, ABCD — ее основание, O — центр сферы, O1 — центр квадрата ABCD. Ясно, что S лежит на прямой OO1, причем так, что O лежит между O1 и S (если это не так, заменим S на второй конец этого же диаметра, высота пирамиды увеличится, значит, и объем тоже). Обозначим
тогда 
— высота пирамиды. Тогда из прямоугольного треугольника 
имеем
Значит, 
а сторона квадрата, меньшая диагонали в 
раз, равна 
Тогда объем пирамиды равен
Найдем теперь наибольшее значение функции 
Возьмем ее производную:
поэтому производная отрицательна при h > 4 и положительна при h < 4. Значит, сама функция (а с ней и объем) убывает при h > 4 и возрастает при h < 4, а наибольшее значение принимает в точке h = 4: 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |