Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2190

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=|x в квадрате плюс 4x| минус 2x и y=10 минус x.

Спрятать решение

Решение.

Функция \absx в квадрате плюс 4x минус 2x при x в квадрате плюс 4x больше 0 (то есть при x(x плюс 4) больше 0, x меньше минус 4 или x больше 0) может быть записана как

y=x в квадрате плюс 4x минус 2x равносильно y=x в квадрате плюс 2x.

При x в квадрате плюс 4x меньше или равно 0 аналогично получаем

y= минус x в квадрате минус 4x минус 2x равносильно y= минус x в квадрате минус 6x

на отрезке [−4; 0].

Найдем точки пересечения графиков. При x принадлежит [ минус 4;0] получим

 минус x в квадрате минус 6x=10 минус x равносильно x в квадрате плюс 5x плюс 10=0,

нет корней. При x меньше минус 4 или x больше 0 получим

x в квадрате плюс 2x=10 минус x равносильно x в квадрате плюс 3x минус 10=0 равносильно (x плюс 5)(x минус 2)=0 равносильно совокупность выражений x=2,x= минус 5. конец совокупности .

Графиком первой функции будут части двух парабол, графиком второй — прямая. Как видно из рисунка, прямая проходит выше графика первой функции. Значит, фигура сверху ограничена y=10 минус x, а снизу — y= минус x в квадрате минус 6x на отрезке [−4; 0] и y=x в квадрате плюс 2x на отрезках [−5; −4] и [0; 2]. Тогда

S= принадлежит t\limits_ минус 5 в степени ( минус 4) (10 минус x минус x в квадрате минус 2x)dx плюс принадлежит t\limits_ минус 4 в степени 0 (10 минус x плюс x в квадрате плюс 6x)dx плюс принадлежит t\limits_0 в квадрате (10 минус x минус x в квадрате минус 2x)dx=

= принадлежит t\limits_ минус 5 в степени ( минус 4) (10 минус 3x минус x в квадрате )dx плюс принадлежит t\limits_ минус 4 в степени 0 (10 плюс 5x плюс x в квадрате )dx плюс принадлежит t\limits_0 в квадрате (10 минус 3x минус x в квадрате )dx=
=\left. левая круглая скобка 10x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе правая круглая скобка |_ минус 5 в степени ( минус 4) плюс \left. левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 10x правая круглая скобка |_ минус 4 в степени (0) плюс \left. левая круглая скобка 10x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе правая круглая скобка |_0 в квадрате =
=10 умножить на ( минус 4) минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 16 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на ( минус 64) минус 10 умножить на ( минус 5) плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 25 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на ( минус 125) плюс 0 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на ( минус 64) минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 16 минус 10 умножить на ( минус 4) минус 0 плюс 10 умножить на 2 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 8 минус 0=
= минус 40 минус 24 плюс дробь: числитель: 64, знаменатель: 3 конец дроби плюс 50 плюс дробь: числитель: 75, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 125, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 64, знаменатель: 3 конец дроби минус 40 плюс 40 плюс 20 минус 6 минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби =
= дробь: числитель: 64 плюс 64 минус 125 минус 8, знаменатель: 3 конец дроби плюс целая часть: 37, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 = целая часть: 37, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 6 минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 6 конец дроби = целая часть: 35, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 6 .

 

Ответ:  целая часть: 35, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 6 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2185

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1983 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 8 из 10