Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2149

Будем говорить, что прямоугольник (трапеция) вписан в подграфик функции f, если одна из его (её) сторон лежит на оси абсцисс, а две вершины — на подграфике этой функции.

а) Найдите наибольшее значение площади прямоугольника, вписанного в подграфик функции f(x)=(2 минус |x| в кубе ) в степени (\tfrac13) .

б) Верно ли, что из всех прямоугольников, вписанных в подграфик функции f(x)= косинус x  левая круглая скобка x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка наибольшую площадь имеет тот, высота которого вдвое меньше его ширины?

в) Пусть S — наибольшая площадь прямоугольника, вписанного в подграфик функции f(x)= косинус x  левая круглая скобка x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка . Докажите, что площадь вписанной в подграфик этой функции трапеции, основания которой параллельны оси ординат, меньше S.

г) Найдите все значения c, для которых наибольшая площадь прямоугольника, вписанного в подграфик функции f(x)= косинус x плюс c  левая круглая скобка x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка , равна πc.

Спрятать решение

Решение.

Сразу отметим, что если вершины этого прямоугольника на графике функции имеют координаты (x_1; f(x_1)) и (x_2; f(x_2)), то f(x_1)=f(x_2) и площадь прямоугольника равна \absx_2 минус x_1 умножить на f(x_1). Если же вершины лежат не на графике, а под ним, то можно немного приподнять их — пока одна из них не окажется на графике. Если при этом вторая не оказалась на графике, а оказалась ниже него — можно удлинить прямоугольник, сдвинув его вершину по горизонтали, пока она не окажется на графике. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только такие прямоугольники, у которых две вершины на графике. Аналогично поступим и с трапециями — их основания можно увеличить, доведя до пересечения с графиком.

Кроме того, мы будем считать, что функция на промежутке всюду неотрицательна, иначе понятие ее подграфика в этой задаче несколько теряет смысл (если разрешить брать вершины прямоугольника в отрицательной области по ординате, то прямоугольник можно сделать какой угодно площади).

а) Очевидно f(x) — четная функция, определенная при условии 2 минус \absx в кубе больше или равно 0, то есть при

\absx меньше или равно корень из [ 3]2 равносильно минус корень из [ 3]2 меньше или равно x меньше или равно корень из [ 3]2.

Кроме того, если f(a)=f(b), то 2 минус \absa в кубе =2 минус \absb в кубе , \absa=\absb, a= минус b (при a=b мы не получим двух различных точек). Итак, нас будет интересовать максимум функции

\absx минус ( минус x) умножить на (2 минус x в кубе ) в степени (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ) =2x(2 минус x в кубе ) в степени (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ) =(16x в кубе минус 8x в степени 6 ) в степени (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби )

при x принадлежит левая квадратная скобка 0; корень из [ 3]2 правая квадратная скобка . Для этого найдем максимум выражения 16x в кубе минус 8x в степени 6 . Его производная равна

48x в квадрате минус 48x в степени 5 =48x в квадрате (1 минус x в кубе ),

что положительно при x принадлежит (0; 1) и отрицательно при x принадлежит левая круглая скобка 1; корень из [ 3]2 правая квадратная скобка . Значит, максимальная площадь прямоугольника равна

(16 умножить на 1 в кубе минус 8 умножить на 1 в степени 6 ) в степени (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ) =(16 минус 8) в степени (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ) = корень из [ 3]8=2.

б) Здесь f(x) — тоже четная функция, причем опять же на указанном промежутке равенство f(a)=f(b) возможно только при a=\pm b. Значит, нас будет интересовать максимум функции

S(x)=\absx минус ( минус x) косинус x=2x косинус x

при x принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . На концах промежутка значения функции равны нулю. Возьмем ее производную

(2x косинус x)'=2 косинус x плюс 2x умножить на ( минус синус x)= минус 2x синус x плюс 2 косинус x.

Приравнивая ее к нулю, получим  косинус x=x синус x. Это уравнение имеет корни на указанном промежутке, поскольку обе части непрерывны, при x=0 левая часть больше правой, а при x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая больше левой, значит, где-то между этими точками есть равенство. Но если бы высота была вдвое меньше ширины, то мы имели бы  косинус x=x и, следовательно,  синус x=1. Тогда x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , что не соответствует условию  косинус x=x. Ответ — нет, неверно.

в) Пусть вершины этой трапеции — точки (a, 0), (b, 0), (b, косинус b), (a, косинус a), причем b больше a. Тогда ее площадь равна

(b минус a) умножить на дробь: числитель: косинус a плюс косинус b, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (b минус a) умножить на 2 косинус дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: a минус b, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 2 умножить на дробь: числитель: b минус a, знаменатель: 2 конец дроби умножить на косинус дробь: числитель: b минус a, знаменатель: 2 конец дроби ,

поскольку  косинус дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 1. Обозначая  дробь: числитель: b минус a, знаменатель: 2 конец дроби =x, получим 2x косинус x. Но максимальная площадь прямоугольника это максимум функции 2x косинус x, а не просто какое-то ее значение, поэтому площадь трапеции не может оказаться больше.

Если же они равны, то должно еще выполняться условие  косинус дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби =1, откуда a= минус b. Но тогда точки образуют прямоугольник, а не трапецию.

г) Здесь f(x) — тоже четная функция, причем опять же на указанном промежутке равенство f(a)=f(b) возможно только при a=\pm b. Значит, нас будет интересовать максимум функции

S(x)=\absx минус ( минус x)( косинус x плюс c)=2x( косинус x плюс c)

при x принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . При x=0 получим 0, при x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби получим  Пи c, значит, нам нужно, чтобы в промежуточных точках не было значения больше. Возьмем производную

(2x( косинус x плюс c))'=2( косинус x плюс c) плюс 2x умножить на ( минус синус x)= минус 2x синус x плюс 2 косинус x плюс 2c.

Очевидно эта производная убывает, поскольку x и  синус x положительны и возрастают. а  косинус x убывает на указанном промежутке. Значит, она либо на всем промежутке положительна (тогда максимум функции будет при x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , ведь функция возрастает), либо на всем промежутке отрицательна (тогда наибольшее значение при x=0), либо сначала положительна, а потом отрицательна (тогда у производной есть корень, ему соответствует точка максимума исходной функции и, значит, есть площадь, большая чем  Пи c).

Нас устраивает лишь первая ситуация, а для нее должно выполняться условие — значение производной при x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби должно быть неотрицательно, то есть  минус Пи плюс 2c больше или равно 0, отсюда c больше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а) 2; б) нет, неверно; г) c больше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .


-------------
Дублирует задание № 2144.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 2002 год, вариант 2
? Классификатор: Геометрия, Задачи на наибольшее и наименьшее значение функции, Уравнения с параметром
?
Сложность: 11 из 10