Ре­ше­ние. Сразу от­ме­тим, что если вер­ши­ны этого пря­мо­уголь­ни­ка на гра­фи­ке функ­ции имеют ко­ор­ди­на­ты и то и пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна Если же вер­ши­ны лежат не на гра­фи­ке, а под ним, то можно не­мно­го при­под­нять их  — пока одна из них не ока­жет­ся на гра­фи­ке. Если при этом вто­рая не ока­за­лась на гра­фи­ке, а ока­за­лась ниже него  — можно удли­нить пря­мо­уголь­ник, сдви­нув его вер­ши­ну по го­ри­зон­та­ли, пока она не ока­жет­ся на гра­фи­ке. По­это­му в даль­ней­шем мы будем рас­смат­ри­вать толь­ко такие пря­мо­уголь­ни­ки, у ко­то­рых две вер­ши­ны на гра­фи­ке. Ана­ло­гич­но по­сту­пим и с тра­пе­ци­я­ми  — их ос­но­ва­ния можно уве­ли­чить, до­ве­дя до пе­ре­се­че­ния с гра­фи­ком.

Кроме того, мы будем счи­тать, что функ­ция на про­ме­жут­ке всюду не­от­ри­ца­тель­на, иначе по­ня­тие ее под­гра­фи­ка в этой за­да­че не­сколь­ко те­ря­ет смысл (если раз­ре­шить брать вер­ши­ны пря­мо­уголь­ни­ка в от­ри­ца­тель­ной об­ла­сти по ор­ди­на­те, то пря­мо­уголь­ник можно сде­лать какой угод­но пло­ща­ди).

а)  Оче­вид­но   — чет­ная функ­ция, опре­де­лен­ная при усло­вии то есть при

Кроме того, если то (при мы не по­лу­чим двух раз­лич­ных точек). Итак, нас будет ин­те­ре­со­вать мак­си­мум функ­ции

при Для этого най­дем мак­си­мум вы­ра­же­ния Его про­из­вод­ная равна

что по­ло­жи­тель­но при и от­ри­ца­тель­но при Зна­чит, мак­си­маль­ная пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна

б)  Здесь   — тоже чет­ная функ­ция, при­чем опять же на ука­зан­ном про­ме­жут­ке ра­вен­ство воз­мож­но толь­ко при Зна­чит, нас будет ин­те­ре­со­вать мак­си­мум функ­ции

при На кон­цах про­ме­жут­ка зна­че­ния функ­ции равны нулю. Возь­мем ее про­из­вод­ную

При­рав­ни­вая ее к нулю, по­лу­чим Это урав­не­ние имеет корни на ука­зан­ном про­ме­жут­ке, по­сколь­ку обе части не­пре­рыв­ны, при левая часть боль­ше пра­вой, а при пра­вая боль­ше левой, зна­чит, где-то между этими точ­ка­ми есть ра­вен­ство. Но если бы вы­со­та была вдвое мень­ше ши­ри­ны, то мы имели бы и, сле­до­ва­тель­но, Тогда что не со­от­вет­ству­ет усло­вию Ответ  — нет, не­вер­но.

в)  Пусть вер­ши­ны этой тра­пе­ции  — точки при­чем Тогда ее пло­щадь равна

по­сколь­ку Обо­зна­чая по­лу­чим Но мак­си­маль­ная пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка это мак­си­мум функ­ции а не про­сто какое-то ее зна­че­ние, по­это­му пло­щадь тра­пе­ции не может ока­зать­ся боль­ше.

Если же они равны, то долж­но еще вы­пол­нять­ся усло­вие от­ку­да Но тогда точки об­ра­зу­ют пря­мо­уголь­ник, а не тра­пе­цию.

г)  Здесь   — тоже чет­ная функ­ция, при­чем опять же на ука­зан­ном про­ме­жут­ке ра­вен­ство воз­мож­но толь­ко при Зна­чит, нас будет ин­те­ре­со­вать мак­си­мум функ­ции

при При по­лу­чим 0, при по­лу­чим зна­чит, нам нужно, чтобы в про­ме­жу­точ­ных точ­ках не было зна­че­ния боль­ше. Возь­мем про­из­вод­ную

Оче­вид­но эта про­из­вод­ная убы­ва­ет, по­сколь­ку x и по­ло­жи­тель­ны и воз­рас­та­ют. а убы­ва­ет на ука­зан­ном про­ме­жут­ке. Зна­чит, она либо на всем про­ме­жут­ке по­ло­жи­тель­на (тогда мак­си­мум функ­ции будет при ведь функ­ция воз­рас­та­ет), либо на всем про­ме­жут­ке от­ри­ца­тель­на (тогда наи­боль­шее зна­че­ние при ), либо сна­ча­ла по­ло­жи­тель­на, а потом от­ри­ца­тель­на (тогда у про­из­вод­ной есть ко­рень, ему со­от­вет­ству­ет точка мак­си­му­ма ис­ход­ной функ­ции и, зна­чит, есть пло­щадь, боль­шая чем ).

Нас устра­и­ва­ет лишь пер­вая си­ту­а­ция, а для нее долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие  — зна­че­ние про­из­вод­ной при долж­но быть не­от­ри­ца­тель­но, то есть от­сю­да

Ответ: а) 2; б) нет, не­вер­но; г)