PDF-версии: 
i
Пусть 
— многочлен степени n.
а) Известно, что числа 3 и 7 являются корнями многочлена 
и что 
Найдите 
б) Известно, что числа 1 и 2 являются корнями многочлена 
Пусть 
и 
причем 
Докажите, что число, делящее отрезок 
в отношении 
является третьим корнем этого многочлена.
в) Пусть 
Найдите все a, при которых многочлен 
имеет ровно два действительных корня.
г) Пусть 
Найдите все 
при которых уравнение 
имеет 1000 различных действительных корней.
тогда 
и 
в виде 
где 
а t — некое число. Теперь запишем: 
и 
и делит его в отношении 
не является корнем уравнения 
то его можно записать в виде 
Исследуем функцию 
и построим эскиз её графика. Поскольку 
и 
возрастает на 
Также 
Теперь ответ очевиден.
Заметим, что на интервалах 
эта функция принимает положительные значения, а на интервалах 
— отрицательные 
Ясно, что уравнение 
имеет ровно два решения на отрезке 
если 
где Mk — наибольшее значение этой функции на этом отрезке (наличие двух корней следует из непрерывности, больше же двух корней быть не может, ибо в противном случае на отрезке оказалось бы более одной точки, в которой производная функции 
обращается в нуль, что невозможно, ибо уравнение 
не может иметь более 999 решений). На каждом из лучей 
и 
уравнение 
где M — наименьшее из чисел 
на отрезке 
равно 
В самом деле, сделаем замену 
получим, что наибольшее значение функции 
равно наибольшему значению функции 
на отрезке 
Но на отрезке 
эта функция, очевидно, возрастает, а на отрезке 
убывает, 
больше числа 
Для этого достаточно убедиться в том, что число 
где 
Но это очевидно — ограничимся случаем 
тогда:
