РЕШУ УРОК — выпускные экзамены по математике

Задания

3А. Комплексное число $z=a плюс bi$ называется гауссовым, если a и b  — целые числа. Говорят, что гауссово число z кратно числу w, если $z=wu,$ где w и u  — гауссовы числа. Пусть $\Cal K$   — множество всех гауссовых чисел, кратных $1 плюс 2i.$

а)  Найдите все натуральные a, такие что $a\leqslant20$ и $2 плюс ai принадлежит \Cal K.$

б)  Докажите, что если $z принадлежит \Cal K$ и $\arg z= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i4,$ то z кратно $3 минус i.$

в)  Существуют ли числа $u, v принадлежит \Cal K,$ такие что $\arg дробь: числитель: u, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i8?$

г)  Докажите, что для всякого гауссова числа z найдется число $w принадлежит \Cal K,$ такое что $|z минус w|\leqslant1.$

Решение. а)  Пусть $z= дробь: числитель: 2 плюс ai, знаменатель: 1 плюс 2i конец дроби .$ Число $2 плюс ai принадлежит \Cal K$ тогда и только тогда, когда z — гауссово, но

$z= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби левая круглая скобка 2 плюс ai правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2i правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 1 плюс a правая круглая скобка плюс i левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$

поэтому $2 плюс ai принадлежит \Cal K$ тогда и только тогда, когда числа $a минус 4$ и $a плюс 1$ делятся на 5.

б)  Поскольку $z принадлежит \Cal K,$ то можно записать:

$z= левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2i правая круглая скобка =x минус 2y плюс i левая круглая скобка y плюс 2x правая круглая скобка ,$ где x и y — целые числа.

Поскольку $\arg z= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ то $x минус 2y=2x плюс y,$ так что $x= минус 3y.$ Окончательно получаем:

$z= левая круглая скобка минус 3y плюс iy правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2i правая круглая скобка = минус y левая круглая скобка 1 плюс 2i правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус i правая круглая скобка .$

в)  Предположим, что требуемые числа u и v существуют. Рассмотрим число $z= дробь: числитель: u, знаменатель: v конец дроби =a плюс bi,$ заметим, что, поскольку числа u и v гауссовы, т. е. их вещественные и мнимые части  — целые числа, то числа a и b рациональны. Поэтому число $|z| в квадрате =a в квадрате плюс b в квадрате$ тоже рационально. С другой стороны, если $\arg дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ то

$z=|z| левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка ,$ а потому $z в квадрате =|z| в квадрате левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка ,$

так как число $|z| в квадрате$ рационально, а число $косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ иррационально, то $Re z в квадрате$ — иррациональное число, но оно, очевидно, равно $a в квадрате минус b в квадрате ,$ т. е. рационально. Противоречие.

г)  Числа $w принадлежит \Cal K$ имеют вид

$w= левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2i правая круглая скобка =x левая круглая скобка 1 плюс 2i правая круглая скобка плюс y левая круглая скобка i минус 2 правая круглая скобка ,$ где $x, y принадлежит Z .$

Поэтому совокупность всех чисел w — это множество узлов решётки, изображенной на рисунке. Любое число z оказывается, таким образом, внутри или на сторонах какого-то квадрата со стороной длины $корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ вершины которого  — числа из множества K. Понятно, что можно ограничиться рассмотрением гауссовых чисел, лежащих внутри или на сторонах квадрата OABC, где A — соответствует числу $1 плюс 2i,$ B — числу $минус 1 плюс 3i,$ C — числу $минус 2 плюс i$ (остальные случаи можно свести к этому соответствующим параллельным переносом). Но для этих чисел (это числа 0, i, 2i, $1 плюс 2i,$ $минус 1 плюс i,$ $минус 1 плюс 2i,$ $минус 1 плюс 3i,$ $минус 2 плюс i$ ) очевидно, что расстояние от них до ближайшей из вершин квадрата OABC не превосходит 1.

Ответ: а) 4; 9; 14; 19; в) таких чисел не существует.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2117	а) 4; 9; 14; 19; в) таких чисел не существует.

Ключ