Дан многочлен 
а) Пусть 
Найдите корни многочлена 
(и запишите их в алгебраической форме).
б) Найдите все пары 
при которых один из корней многочлена совпадает с серединой отрезка между двумя другими (здесь и в следующем пункте мы отождествляем комплексные числа с точками плоскости).
при которых корни многочлена лежат в вершинах равностороннего треугольника.
г) Докажите, что если 
при всех 
то 
б) По условию 
в силу формул Виета 
поэтому 
значит, 
в) Так как 
то центр треугольника совпадает с началом координат, поэтому
Прямая проверка показывает, что 
Приведем еще одно решение. Так как сумма корней равна нулю: и они являются вершинами равностороннего треугольника с центром в нуле, то они имеют вид 
где 
—
Следовательно, они являются корнями уравнения 
Обозначим 
Тогда каждый корень удовлетворяет системе:
Вычитая, получаем 
для всех трех корней. Это линейное уравнение имеет три различных корня, что возможно только если его коэффициенты равны нулю: 
и 
Отсюда 
Тогда исходное уравнение принимает вид 
так как 
его корни — кубические корни из b. Чтобы они были различны, нужно 
Таким образом, все искомые пары: 
г) Пусть 
Тогда
Осталось показать, что если 
то найдется решение системы неравенств
для которого хотя бы одно из этих неравенств является строгим (тогда 
Действительно, если 
то и
С другой стороны, при подстановке 
и 
во второе выражение получаем значения противоположных знаков.
Ответ: 
a любое;
----------
Дублирует задание 2109.
-------------
Дублирует задание № 2109.Спрятать критерии